Chủ đề này có 3 trả lời

[mrjackass]

Cho a,b,c dương. CMR:
$\sum \frac{a}{(b+c)^{2}}\geq \frac{9}{4(a+b+c)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 25-12-2012 - 08:49

[maitienluat]

Kí hiệu $\sum a^{2}b= a^{2}b+b^{2}a+a^{2}c+c^{2}a+c^{2}b+b^{2}c$
Theo Cauchy-Schwarz $\sum \frac{a}{(b+c)^{2}}\geq \frac{(\sum a)^{2}}{\sum (a(b+c)^{2})}$
Do đó ta chỉ cần chứng minh
$4(\sum a)^{3}\geq 9(\sum a(b+c)^{2})=9\sum a^{2}b+54abc$
$\Leftrightarrow 4\sum a^{3}+3\sum a^{2}b\geq 30abc$
Dễ dàng chứng minh BĐT này bằng AM-GM. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

[WhjteShadow]

Kí hiệu $\sum a^{2}b= a^{2}b+b^{2}a+a^{2}c+c^{2}a+c^{2}b+b^{2}c$
Theo Cauchy-Schwarz $\sum \frac{a}{(b+c)^{2}}\geq \frac{(\sum a)^{2}}{\sum (a(b+c)^{2})}$
Do đó ta chỉ cần chứng minh
$4(\sum a)^{3}\geq 9(\sum a(b+c)^{2})=9\sum a^{2}b+54abc$
$\Leftrightarrow 4\sum a^{3}+3\sum a^{2}b\geq 30abc$
Dễ dàng chứng minh BĐT này bằng AM-GM. Đẳng thức xảy ra $\Leftrightarrow a=b=c$

Luật còn non tay lắm
Áp dụng bất đẳng thức $Cauchy-Schwarz$ và $Nesbitt$ ta có:
$(a+b+c)\left(\frac{a}{(b+c)^2}+\frac{b}{(a+c)^2}+\frac{c}{(a+b)^2}\right)\geq \left(\frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\right)^2\\ \geq \frac{9}{4}$
Kết thúc chứng minh. ĐẲng thức xảy ra tại $a=b=c$

[KietLW9]

Áp dụng Cô-si, ta có: $$a(b+c)^2+b(c+a)^2+c(a+b)^2=\frac{1}{2}.2a(b+c)(b+c)+\frac{1}{2}.2b(c+a)(c+a)+\frac{1}{2}.2c(a+b)(a+b)\leqslant\frac{1}{2}.\frac{8(a+b+c)^3}{27}+ \frac{1}{2}.\frac{8(a+b+c)^3}{27}+\frac{1}{2}.\frac{8(a+b+c)^3}{27}=\frac{4}{9}(a+b+c)^3$$

$\Rightarrow \sum_{cyc}\frac{a}{(b+c)^2}= \sum_{cyc}\frac{a^2}{a(b+c)^2}\geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\sum_{cyc}a(b+c)^2} \geqslant \frac{(a+b+c)^2}{\frac{4}{9}(a+b+c)^3} =\frac{9}{4(a+b+c)}$

Đẳng thức xảy ra khi a = b = c