và $B^{2010}=0$ và AB =BA.
Chứng minh ma trận I+A+B khả nghịch.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 20-01-2013 - 07:50
Giả sử A,B là các ma trận vuông cấp n, thỏa $A^{2009}=0$ và $B^{2010}=0$ và AB =BA. Chứng minh ma trận I+A+B khả nghịch.
1 Bình chọn
Bắt đầu bởi Vani, 25-12-2012 - 20:54
#1
Đã gửi 25-12-2012 - 20:54
Vani
-
- Thành viên
-
- 28 Bài viết
Binh nhất
Giả sử A,B là các ma trận vuông cấp n, thỏa $A^{2009}=0$
và $B^{2010}=0$ và AB =BA.
Chứng minh ma trận I+A+B khả nghịch.
và $B^{2010}=0$ và AB =BA.
Chứng minh ma trận I+A+B khả nghịch.
- vo van duc yêu thích
#2
Đã gửi 26-12-2012 - 08:57
vo van duc
-
- ĐHV Toán Cao cấp
-
- 582 Bài viết
Thiếu úy
Ta có:
$(A+B)^{4019}=\sum_{k=0}^{4019}C_{4019}^{k}A^{k}B^{4019-k}$
$=\sum_{k=0}^{2009}C_{4019}^{k}A^{k}B^{4019-k}+\sum_{k=2010}^{4019}C_{4019}^{k}A^{k}B^{4019-k}$
$=O$
Ta lại có:
$I=I^{4019}+(A+B)^{4019}$
$=(I+A+B)((A+B)^{4018}-(A+B)^{4017}+...-(A+B)+I)$
$=(I+A+B)M$
Với $M=(A+B)^{4018}-(A+B)^{4017}+...-(A+B)+I$
Suy ra:
$\det I=\det (I+A+B)\det M$
$\Rightarrow \det (I+A+B)\det M=1$
$\Rightarrow \det (I+A+B)\neq 0$
Vậy $I+A+B$ khả nghịch
$(A+B)^{4019}=\sum_{k=0}^{4019}C_{4019}^{k}A^{k}B^{4019-k}$
$=\sum_{k=0}^{2009}C_{4019}^{k}A^{k}B^{4019-k}+\sum_{k=2010}^{4019}C_{4019}^{k}A^{k}B^{4019-k}$
$=O$
Ta lại có:
$I=I^{4019}+(A+B)^{4019}$
$=(I+A+B)((A+B)^{4018}-(A+B)^{4017}+...-(A+B)+I)$
$=(I+A+B)M$
Với $M=(A+B)^{4018}-(A+B)^{4017}+...-(A+B)+I$
Suy ra:
$\det I=\det (I+A+B)\det M$
$\Rightarrow \det (I+A+B)\det M=1$
$\Rightarrow \det (I+A+B)\neq 0$
Vậy $I+A+B$ khả nghịch
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 28-12-2012 - 13:30
- LakcOngtU, MrVirut, cuong148 và 3 người khác yêu thích
Võ Văn Đức 
#3
Đã gửi 16-02-2019 - 01:29
khangtran
-
- Thành viên mới
-
- 5 Bài viết
Lính mới
E làm như thế này được không ạ!
Ta Có:
$A^{2009} = O$ , $B^{2010} = O$ nên A, B là ma trận lũy linh
Mà A, B giao hoán nên A + B là ma trận lũy linh.
Suy ra I + A + B khả nghịch
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
