Cho ma trận phản đối xứng có dạng.... Chứng minh ma trận khả nghịch.
#1
Đã gửi 26-12-2012 - 10:44
| a+1 b c d |
| -b a+1 b c |
| -c -b a+1 b |
| -d -c -b a+1|
Chứng minh ma trận khả nghịch..?
#2
Đã gửi 26-12-2012 - 11:38
1) Đây không phải ma trận phảm đối xứng. Vì ma trận phản đối xứng thì các phần tử trên đường chéo chính phải bằng 0.
2) Có lẻ đề thiếu điều kiện $a\neq -1$ hoặc $b\neq 0$ hoặc $c\neq 0$ hoặc $d\neq 0$
3) Giải với điều kiện $a\neq -1$
Ta đặt $A=\begin{pmatrix} a+1 & b & c & d\\ -b & a+1 & b & c\\ -c & -b & a+1 & b\\ -d & -c & -b & a+1 \end{pmatrix}$
Ta có:
$AA^{T}=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ].I$
$\Rightarrow \det (AA^{T})=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}$
$\Rightarrow (\det A)^{2}=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}$
Với $a\neq -1$ thì ta có:
$(a+1)^{2}> 0$
$\Rightarrow (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}> 0,\forall b,c,d$
$\Rightarrow \left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}> 0,\forall b,c,d$
$\Rightarrow (\det A)^{2}> 0$
Suy ra: $\det A\neq 0$
Suy ra ma trận A khả nghịch
..................................................
Bài viết đã được sửa sau khi nhận góp ý của bạn "phudinhgioihan"
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 14-10-2013 - 15:39
- LakcOngtU yêu thích
#3
Đã gửi 26-12-2012 - 16:28
1) Đây không phải ma trận phảm đối xứng. Vì ma trận phản đối xứng thì các phần tử trên đường chéo chính phải bằng 0.
2) Có lẻ đề thiếu điều kiện $a\neq 1$
3) Giải với điều kiện $a\neq 1$
Ta đặt $A=\begin{pmatrix} a+1 & b & c & d\\ -b & a+1 & b & c\\ -c & -b & a+1 & b\\ -d & -c & -b & a+1 \end{pmatrix}$
Ta có:
$AA^{T}=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ].I$
$\Rightarrow \det (AA^{T})=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}$
$\Rightarrow (\det A)^{2}=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}$
Với $a\neq 1$ thì $\det A\neq 0$
Suy ra ma trận A khả nghịch
Như đã tính $\det(A)=[(a+1)^2+b^2+c^2+d^2]^2 $ , do đó, để $A$ khả nghịch thì phải có $(a+1)bcd \neq 0$ . Điều kiện $a \neq 1$ không thể đảm bảo $A$ khả nghịch!
#4
Đã gửi 26-12-2012 - 18:54
Vì với $a\neq -1$ thì ta có:
$(a+1)^{2}> 0$
$\Rightarrow (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}> 0,\forall b,c,d$
$\Rightarrow \left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}> 0,\forall b,c,d$
$\Rightarrow (\det A)^{2}> 0$
Suy ra: $\det A\neq 0$
..............................................
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 26-12-2012 - 19:08
#5
Đã gửi 26-12-2012 - 22:21
..............................................................1) Đây không phải ma trận phảm đối xứng. Vì ma trận phản đối xứng thì các phần tử trên đường chéo chính phải bằng 0.
2) Có lẻ đề thiếu điều kiện $a\neq -1$
3) Giải với điều kiện $a\neq -1$
Ta đặt $A=\begin{pmatrix} a+1 & b & c & d\\ -b & a+1 & b & c\\ -c & -b & a+1 & b\\ -d & -c & -b & a+1 \end{pmatrix}$
Ta có:
$AA^{T}=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ].I$
$\Rightarrow \det (AA^{T})=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}$
$\Rightarrow (\det A)^{2}=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}$
Với $a\neq -1$ thì ta có:
$(a+1)^{2}> 0$
$\Rightarrow (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}> 0,\forall b,c,d$
$\Rightarrow \left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}> 0,\forall b,c,d$
$\Rightarrow (\det A)^{2}> 0$
Suy ra: $\det A\neq 0$
Suy ra ma trận A khả nghịch
..................................................
Bài viết đã được sửa sau khi nhận góp ý của bạn "phudinhgioihan"
tại sao $A.A^T = ((a+1)^2+b^2+c^2+d^2)I => det(A.A^T)= ((a+1)^2+b^2+c^2+d^2)^4$ vậy? ở trên mũ 1 nhưng tại sao sau khi lấy det() hay vế thì ra mũ 4 hả anh ?
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vani: 26-12-2012 - 22:24
#6
Đã gửi 27-12-2012 - 00:19
#7
Đã gửi 27-12-2012 - 00:57
2) Định nghĩa:
Cho A là ma trận vuông cấp n.
a) Ma trận A được gọi là đối xứng nếu $A^{T}=A$
b) Ma trận A được gọi là phản đối xứng nếu $A^{T}=-A$
Vì các phần tử trên đường chéo chính của A và $A^{T}$ tương ứng bằng nhau nên:
+ Khi A là ma trận đối xứng thì các phần tử trên đường chéo chính là bất kỳ.
+ Khi A là ma trận phản đối xứng thì các phần tử trên đường chéo chính phải bằng 0. Vì chỉ có số 0 thỏa mãn: $0=-0$
#8
Đã gửi 28-12-2012 - 13:24
.....................................................................
Bài 1: Đề dự tuyển Olympic toán SV 2009_ĐH Bà Rịa - Vũng Tàu
Cho $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ và các ma trận
$A=\begin{pmatrix} a & -b & -c & -d\\ b & a & -c & d\\ c & d & a & -b\\ d & -c & b & a \end{pmatrix}$ và $I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$
Tính $\det (A-\lambda I)$
Bài 2: Đề dự tuyển Olympic toán SV 2009_CĐ SP Kon Tum
Giải hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix} ax_{1}-bx_{2}-cx_{3}+dx_{4}=2009x_{1}\\ bx_{1}+ax_{2}+dx_{3}+cx_{4}=2009x_{2}\\ cx_{1}+dx_{2}+ax_{3}-bx_{4}=2009x_{3}\\ -dx_{1}-cx_{2}+bx_{3}+ax_{4}=2009x_{4} \end{matrix}\right.$
Trong đó $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ và $a> 2009$
Bài 3: Đề thi Olympic toán sinh viên 1994
Cho $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng ma trận
$A=\begin{pmatrix} 1+a_{1}^{2} & -a_{2} & -a_{3} & a_{4}\\ a_{2} & 1+a_{1}^{2} & a_{4} & a_{3}\\ a_{3} & a_{4} & 1+a_{1}^{2} & -a_{2}\\ -a_{4} & -a_{3} & a_{2} & 1+a_{1}^{2} \end{pmatrix}$
khả nghịch. Tìm $A^{-1}$
Bài 4: Đề thi Olympic toán SV năm 1996
Chứng minh rằng nếu $a\neq 0$ thì hệ phương trình
$\left\{\begin{matrix} ax+(1-b)y+cz+(1-d)t=a\\ (b-1)x+ay+(d-1)z+ct=b\\ -cx+(1-d)y+az+(b-1)t=c\\ (d-1)x+cy+(1-b)z+at=d \end{matrix}\right.$
luôn có nghiệm $\forall b,c,d\in \mathbb{R}$
............................................................................
Mọi người làm cho vui. hi
Chúc cả nhà vui vẻ!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 30-12-2012 - 20:55
- LakcOngtU và YeuEm Zayta thích
#9
Đã gửi 13-03-2019 - 07:10
1) Đây không phải ma trận phảm đối xứng. Vì ma trận phản đối xứng thì các phần tử trên đường chéo chính phải bằng 0.
2) Có lẻ đề thiếu điều kiện $a\neq -1$ hoặc $b\neq 0$ hoặc $c\neq 0$ hoặc $d\neq 0$
3) Giải với điều kiện $a\neq -1$
Ta đặt $A=\begin{pmatrix} a+1 & b & c & d\\ -b & a+1 & b & c\\ -c & -b & a+1 & b\\ -d & -c & -b & a+1 \end{pmatrix}$
Ta có:
$AA^{T}=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ].I$
$\Rightarrow \det (AA^{T})=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}$
$\Rightarrow (\det A)^{2}=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}$
Với $a\neq -1$ thì ta có:
$(a+1)^{2}> 0$
$\Rightarrow (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}> 0,\forall b,c,d$
$\Rightarrow \left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}> 0,\forall b,c,d$
$\Rightarrow (\det A)^{2}> 0$
Suy ra: $\det A\neq 0$
Suy ra ma trận A khả nghịch
..................................................
Bài viết đã được sửa sau khi nhận góp ý của bạn "phudinhgioihan"
Tại sao : $AA^{T} = ( (a+1)^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) I$ vậy ạ?? e nhân lại thì không ra kết quả như v?
#10
Đã gửi 30-03-2023 - 00:04
1) Đây không phải ma trận phảm đối xứng. Vì ma trận phản đối xứng thì các phần tử trên đường chéo chính phải bằng 0.
2) Có lẻ đề thiếu điều kiện $a\neq -1$ hoặc $b\neq 0$ hoặc $c\neq 0$ hoặc $d\neq 0$
3) Giải với điều kiện $a\neq -1$
Ta đặt $A=\begin{pmatrix} a+1 & b & c & d\\ -b & a+1 & b & c\\ -c & -b & a+1 & b\\ -d & -c & -b & a+1 \end{pmatrix}$
Ta có:
$AA^{T}=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ].I$
$\Rightarrow \det (AA^{T})=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}$
$\Rightarrow (\det A)^{2}=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}$
Với $a\neq -1$ thì ta có:
$(a+1)^{2}> 0$
$\Rightarrow (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}> 0,\forall b,c,d$
$\Rightarrow \left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}> 0,\forall b,c,d$
$\Rightarrow (\det A)^{2}> 0$
Suy ra: $\det A\neq 0$
Suy ra ma trận A khả nghịch
..................................................
Bài viết đã được sửa sau khi nhận góp ý của bạn "phudinhgioihan"
Con cảm ơn thầy. Thầy cho con hỏi tại sao $AA^T$ lại bằng cái kia được ạ. Có cách nào để nhìn nhanh kết quả không ạ
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh