Chủ đề này có 9 trả lời

[Vani]

Cho ma trận sau :
| a+1 b c d |
| -b a+1 b c |
| -c -b a+1 b |
| -d -c -b a+1|
Chứng minh ma trận khả nghịch..?

[vo van duc]

1) Đây không phải ma trận phảm đối xứng. Vì ma trận phản đối xứng thì các phần tử trên đường chéo chính phải bằng 0.

2) Có lẻ đề thiếu điều kiện $a\neq -1$ hoặc $b\neq 0$ hoặc $c\neq 0$ hoặc $d\neq 0$

3) Giải với điều kiện $a\neq -1$

Ta đặt $A=\begin{pmatrix} a+1 & b & c & d\\ -b & a+1 & b & c\\ -c & -b & a+1 & b\\ -d & -c & -b & a+1 \end{pmatrix}$

Ta có:

$AA^{T}=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ].I$

$\Rightarrow \det (AA^{T})=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}$

$\Rightarrow (\det A)^{2}=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}$

Với $a\neq -1$ thì ta có:

$(a+1)^{2}> 0$

$\Rightarrow (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}> 0,\forall b,c,d$

$\Rightarrow \left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}> 0,\forall b,c,d$

$\Rightarrow (\det A)^{2}> 0$

Suy ra: $\det A\neq 0$

Suy ra ma trận A khả nghịch

..................................................
Bài viết đã được sửa sau khi nhận góp ý của bạn "phudinhgioihan"

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 14-10-2013 - 15:39

[phudinhgioihan]

1) Đây không phải ma trận phảm đối xứng. Vì ma trận phản đối xứng thì các phần tử trên đường chéo chính phải bằng 0.

2) Có lẻ đề thiếu điều kiện $a\neq 1$

3) Giải với điều kiện $a\neq 1$

Ta đặt $A=\begin{pmatrix} a+1 & b & c & d\\ -b & a+1 & b & c\\ -c & -b & a+1 & b\\ -d & -c & -b & a+1 \end{pmatrix}$

Ta có:

$AA^{T}=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ].I$

$\Rightarrow \det (AA^{T})=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}$

$\Rightarrow (\det A)^{2}=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}$

Với $a\neq 1$ thì $\det A\neq 0$

Suy ra ma trận A khả nghịch

Như đã tính $\det(A)=[(a+1)^2+b^2+c^2+d^2]^2 $ , do đó, để $A$ khả nghịch thì phải có $(a+1)bcd \neq 0$ . Điều kiện $a \neq 1$ không thể đảm bảo $A$ khả nghịch!

[vo van duc]

Thật ra thì tôi viết sai cái điều kiện thôi. $a\neq -1$ chứ không phải $a\neq 1$

Vì với $a\neq -1$ thì ta có:

$(a+1)^{2}> 0$

$\Rightarrow (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}> 0,\forall b,c,d$

$\Rightarrow \left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}> 0,\forall b,c,d$

$\Rightarrow (\det A)^{2}> 0$

Suy ra: $\det A\neq 0$

..............................................

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 26-12-2012 - 19:08

[Vani]

1) Đây không phải ma trận phảm đối xứng. Vì ma trận phản đối xứng thì các phần tử trên đường chéo chính phải bằng 0.

2) Có lẻ đề thiếu điều kiện $a\neq -1$

3) Giải với điều kiện $a\neq -1$

Ta đặt $A=\begin{pmatrix} a+1 & b & c & d\\ -b & a+1 & b & c\\ -c & -b & a+1 & b\\ -d & -c & -b & a+1 \end{pmatrix}$

Ta có:

$AA^{T}=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ].I$

$\Rightarrow \det (AA^{T})=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}$

$\Rightarrow (\det A)^{2}=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}$

Với $a\neq -1$ thì ta có:

$(a+1)^{2}> 0$

$\Rightarrow (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}> 0,\forall b,c,d$

$\Rightarrow \left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}> 0,\forall b,c,d$

$\Rightarrow (\det A)^{2}> 0$

Suy ra: $\det A\neq 0$

Suy ra ma trận A khả nghịch

..................................................
Bài viết đã được sửa sau khi nhận góp ý của bạn "phudinhgioihan"

..............................................................
tại sao $A.A^T = ((a+1)^2+b^2+c^2+d^2)I => det(A.A^T)= ((a+1)^2+b^2+c^2+d^2)^4$ vậy? ở trên mũ 1 nhưng tại sao sau khi lấy det() hay vế thì ra mũ 4 hả anh ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Vani: 26-12-2012 - 22:24

[tinhyeu00tinhban]

Ma tran la ma tran phan doi xug , neu la dx thi dau nhat thiet cac phan tu bag o tren duog cheo chinh chu

[vo van duc]

1) Vì vế phải là ma trận đường chéo cấp 4. Mà định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử trên đường chéo chính (ma trận đường chéo là một ma trận tam giác). Vì vậy khi lấy định thức hai vế ta có kết quả như trên

2) Định nghĩa:
Cho A là ma trận vuông cấp n.
a) Ma trận A được gọi là đối xứng nếu $A^{T}=A$
b) Ma trận A được gọi là phản đối xứng nếu $A^{T}=-A$

Vì các phần tử trên đường chéo chính của A và $A^{T}$ tương ứng bằng nhau nên:
+ Khi A là ma trận đối xứng thì các phần tử trên đường chéo chính là bất kỳ.
+ Khi A là ma trận phản đối xứng thì các phần tử trên đường chéo chính phải bằng 0. Vì chỉ có số 0 thỏa mãn: $0=-0$

[vo van duc]

Một số ví dụ có cùng ý tưởng như bài này:
.....................................................................

Bài 1: Đề dự tuyển Olympic toán SV 2009_ĐH Bà Rịa - Vũng Tàu

Cho $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ và các ma trận

$A=\begin{pmatrix} a & -b & -c & -d\\ b & a & -c & d\\ c & d & a & -b\\ d & -c & b & a \end{pmatrix}$ và $I=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$

Tính $\det (A-\lambda I)$

Bài 2: Đề dự tuyển Olympic toán SV 2009_CĐ SP Kon Tum

Giải hệ phương trình:

$\left\{\begin{matrix} ax_{1}-bx_{2}-cx_{3}+dx_{4}=2009x_{1}\\ bx_{1}+ax_{2}+dx_{3}+cx_{4}=2009x_{2}\\ cx_{1}+dx_{2}+ax_{3}-bx_{4}=2009x_{3}\\ -dx_{1}-cx_{2}+bx_{3}+ax_{4}=2009x_{4} \end{matrix}\right.$

Trong đó $a,b,c,d\in \mathbb{R}$ và $a> 2009$

Bài 3: Đề thi Olympic toán sinh viên 1994

Cho $a_{1},a_{2},a_{3},a_{4}\in \mathbb{R}$. Chứng minh rằng ma trận

$A=\begin{pmatrix} 1+a_{1}^{2} & -a_{2} & -a_{3} & a_{4}\\ a_{2} & 1+a_{1}^{2} & a_{4} & a_{3}\\ a_{3} & a_{4} & 1+a_{1}^{2} & -a_{2}\\ -a_{4} & -a_{3} & a_{2} & 1+a_{1}^{2} \end{pmatrix}$

khả nghịch. Tìm $A^{-1}$

Bài 4: Đề thi Olympic toán SV năm 1996

Chứng minh rằng nếu $a\neq 0$ thì hệ phương trình

$\left\{\begin{matrix} ax+(1-b)y+cz+(1-d)t=a\\ (b-1)x+ay+(d-1)z+ct=b\\ -cx+(1-d)y+az+(b-1)t=c\\ (d-1)x+cy+(1-b)z+at=d \end{matrix}\right.$

luôn có nghiệm $\forall b,c,d\in \mathbb{R}$

............................................................................
Mọi người làm cho vui. hi
Chúc cả nhà vui vẻ!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 30-12-2012 - 20:55

[khangtran]

1) Đây không phải ma trận phảm đối xứng. Vì ma trận phản đối xứng thì các phần tử trên đường chéo chính phải bằng 0.

2) Có lẻ đề thiếu điều kiện $a\neq -1$ hoặc $b\neq 0$ hoặc $c\neq 0$ hoặc $d\neq 0$

3) Giải với điều kiện $a\neq -1$

Ta đặt $A=\begin{pmatrix} a+1 & b & c & d\\ -b & a+1 & b & c\\ -c & -b & a+1 & b\\ -d & -c & -b & a+1 \end{pmatrix}$

Ta có:

$AA^{T}=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ].I$

$\Rightarrow \det (AA^{T})=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}$

$\Rightarrow (\det A)^{2}=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}$

Với $a\neq -1$ thì ta có:

$(a+1)^{2}> 0$

$\Rightarrow (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}> 0,\forall b,c,d$

$\Rightarrow \left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}> 0,\forall b,c,d$

$\Rightarrow (\det A)^{2}> 0$

Suy ra: $\det A\neq 0$

Suy ra ma trận A khả nghịch

..................................................
Bài viết đã được sửa sau khi nhận góp ý của bạn "phudinhgioihan"

Tại sao : $AA^{T} = ( (a+1)^{2} + b^{2} + c^{2} + d^{2}) I$     vậy ạ?? e nhân lại thì không ra kết quả như v?

[cauchysheep]

1) Đây không phải ma trận phảm đối xứng. Vì ma trận phản đối xứng thì các phần tử trên đường chéo chính phải bằng 0.

2) Có lẻ đề thiếu điều kiện $a\neq -1$ hoặc $b\neq 0$ hoặc $c\neq 0$ hoặc $d\neq 0$

3) Giải với điều kiện $a\neq -1$

Ta đặt $A=\begin{pmatrix} a+1 & b & c & d\\ -b & a+1 & b & c\\ -c & -b & a+1 & b\\ -d & -c & -b & a+1 \end{pmatrix}$

Ta có:

$AA^{T}=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ].I$

$\Rightarrow \det (AA^{T})=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}$

$\Rightarrow (\det A)^{2}=\left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}$

Với $a\neq -1$ thì ta có:

$(a+1)^{2}> 0$

$\Rightarrow (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2}> 0,\forall b,c,d$

$\Rightarrow \left [ (a+1)^{2}+b^{2}+c^{2}+d^{2} \right ]^{4}> 0,\forall b,c,d$

$\Rightarrow (\det A)^{2}> 0$

Suy ra: $\det A\neq 0$

Suy ra ma trận A khả nghịch

..................................................
Bài viết đã được sửa sau khi nhận góp ý của bạn "phudinhgioihan"

Con cảm ơn thầy. Thầy cho con hỏi tại sao $AA^T$ lại bằng cái kia được ạ. Có cách nào để nhìn nhanh kết quả không ạ