Đến nội dung

Hình ảnh

Đề thi HSG 11 Đà Nẵng 2011-2012


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
VNSTaipro

VNSTaipro

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 322 Bài viết
Câu 1 (2 điểm)
1)So sánh sin(cosx) và cos(sinx) với x là số thực tùy ý
2)Giải: $4sin^{4}x+3cos^{2}x+cosx.cos3x+cos8x-2=0$

Câu 2 (2 điểm)
1)Cho dãy số $(u_{n})$. Biết $u_{1}=1$ và $u_{n+1}=1+\frac{19}{6}u_{n}-\frac{7}{6}u_{n}^{2} (n\geq 1)$. Tính tổng 2012 số hạng đầu của dãy
2) Biet $S_{n}=\frac{1}{\sqrt{2}+2}+\frac{1}{2\sqrt{3}+3\sqrt{2}}+..+\frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n}}$. Tính $\lim S_{n}$

Câu 3 (2 điểm)
1)Trong mặt phẳng tọa độ Oxy ở góc phần tư thứ nhất, thứ hai, thứ ba, thứ tư lần lượt lấy 2, 3, 4, 5 điểm (các điểm này phân biệt và không nằm trên các trục tọa độ). Trong 14 điểm trên lấy 2 điểm bất kì, tính xác suất để đoạn thẳng nối 2 điểm đó cắt cả 2 trục tọa độ
2)Cho số tự nhiên n($2\leq n\leq 6$). Từ các chữ số 1, 2, 3 ,4 ,5, 6 người ta lập ra các số tự nhiên có n chữ số khác nhau. Chứng minh tổng các số lập được chia hết cho 9

Câu 4 (3 điểm)
1) Cho tứ giác lồi ABCD không là hình bình hành, dựng về phía ngoài tứ giác đó bốn hình vuông lần lượt có các cạnh AB, BC, CD, DA. Gọi $O_{1}, O_{2}, O_{3}, O_{4}$ lần lượt là tâm của các hình vuông trên theo thứ tự đó. Chứng minh rằng trung điểm các đường chéo của 2 tứ giác ABCD và $O_{1}O_{2}O_{3}O_{4}$ là bốn đỉnh của 1 hình vuông
2)Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Trên cạnh BC lấy M không trùng với B và C. Gọi I là trung điểm SA, (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với (BDI)
a)Xác đinh thiết diện của hình chóp khi cắt bởi (P)
b)Đặt $k=\frac{MB}{MC}$ và gọi s là diện tích tam giác BDI. Tính diện tích của thiết diện theo k và s

Câu 5 (1 điểm)
Cho ba số dương $a, b, c$ thỏa điều kiện $c<a$ và $c<b$. Chứng minh:
$(\frac{c}{a}+\frac{c}{b})\sqrt{ab}\leq \sqrt{(a+c)(b+c)}+\sqrt{(a-c)(b-c)}\leq 2\sqrt{ab}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi VNSTaipro: 27-12-2012 - 11:35

Hình đã gửi


#2
WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 1323 Bài viết

Câu 5 (1 điểm)
Cho ba số dương $a, b, c$ thỏa điều kiện $c<a$ và $c<b$. Chứng minh:
$(\frac{c}{a}+\frac{c}{b})\sqrt{ab}\leq \sqrt{(a+c)(b+c)}+\sqrt{(a-c)(b-c)}\leq 2\sqrt{ab}$

Chứng minh vế trái trước ^^~
Viết lại điều cần chứng minh thành:
$$ac+bc\leq \sqrt{ab}.\left(\sqrt{(a+c)(b+c)}+\sqrt{(a-c)(b-c)}\right)$$
Áp dụng bất đẳng thức quen thuộc $\sqrt{A}+\sqrt{B}\geq \sqrt{A+B}$ và để ý $ac+bc\leq ab+c^2$ thì:
$$\sqrt{ab}.\left(\sqrt{(a+c)(b+c)}+\sqrt{(a-c)(b-c)}\right)\geq \sqrt{ab}.\sqrt{2(ab+c^2)}$$
$$\geq \sqrt{ab}.(c+\sqrt{ab})\geq c^2+ab\geq ac+bc$$
Còn vế phải chỉ là $Cauchy-Schwarz$ đơn thuần khi ta viết :))
$$\sqrt{a+c}.\sqrt{b+c}+\sqrt{a-c}\sqrt{b-c}\leq \sqrt{(a+c)+(a-c)}.\sqrt{(b+c)+(b-c)}$$
Đẳng thức ở vế trái xảy ra khi $a=b\to c$, vế phải khi $a-c=b-c$ $\square$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 27-12-2012 - 12:20

“There is no way home, home is the way.” - Thich Nhat Hanh

#3
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

Câu 1 (2 điểm)
2)Giải: $4sin^{4}x+3cos^{2}x+cosx.cos3x+cos8x-2=0$


$4\sin^{4}x+3\cos^{2}x+\cos x.\cos 3x+\cos 8x-2=0$

$\Leftrightarrow 2(1-\cos 2x)^{2}+3(1+\cos 2x)+\cos 4x+\cos 2x+4\cos^{2}4x-2-4=0$

$\Leftrightarrow 4\cos^{2}2x+4\cos^{2}4x-2=0$

$\Leftrightarrow 4\cos^{2}4x+2\cos 4x=0$

$\Leftrightarrow 2\cos 4x(2\cos 4x+1)=0$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} \cos 4x=0\\ \cos 4x=-\frac{1}{2}=\cos \frac{2\pi}{3} \end{bmatrix}$

$\Leftrightarrow \begin{bmatrix} x=\frac{\pi}{8}+k\frac{\pi}{4}\\ x=\pm \frac{\pi}{6}+k\frac{\pi}{2} \end{bmatrix};k \in \mathbb{Z}$

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#4
0o0heodat0o0

0o0heodat0o0

    Lính mới

  • Thành viên
  • 1 Bài viết
đề cho a>c, b>c chớ có cho a,b lớn hơn bằng c đâu mà dùng vô vậy :excl:

#5
maitienluat

maitienluat

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 182 Bài viết
Câu 2b:
Ta có $\frac{1}{n\sqrt{n+1}+(n+1)\sqrt{n}}=\frac{1}{\sqrt{n(n+1)}.(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1)}}=\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$
Suy ra $S=1-\frac{1}{\sqrt{2}}+\frac{1}{\sqrt{2}}-\frac{1}{\sqrt{3}}+...+\frac{1}{\sqrt{n}}-\frac{1}{\sqrt{n+1}}=1-\frac{1}{\sqrt{n+1}}$
$\Rightarrow lim S_{n}=1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi maitienluat: 09-01-2013 - 22:09


#6
baonguyen97

baonguyen97

    Binh nhì

  • Thành viên
  • 15 Bài viết

Có ai biết câu 4.1 không?






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh