Đến nội dung

Hình ảnh

ÔN THI ĐẠI HỌC 2013


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 69 trả lời

#21
hoangkkk

hoangkkk

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết
Bài toán 14 : Cho các số thực dương $a,b,c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
$$\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+4a}+\frac{c+a}{c+a+16b}$$

Bài toán 15 : Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $ab+bc+ca=1$. Chứng minh bất đẳng thức :
$$\frac{a}{a^2+1}+\frac{b}{b^2+1}+\frac{3c}{\sqrt{1+c^2}}\leq \sqrt{10}$$

Bài toán 16 : Cho $a,b,c$ là các số thực không âm và đôi một khác nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
$$P=\left [ \left ( a+b \right )^2+\left ( b+c \right )^2+\left ( c+a \right )^2 \right ]\left [ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2} \right ]$$

A2K40-er

My Blog : http://a2k40pbc.blogspot.com/


#22
provotinhvip

provotinhvip

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết

Bài toán 14 : Cho các số thực dương $a,b,c$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
$$\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+4a}+\frac{c+a}{c+a+16b}$$

$P=\frac{a+b}{a+b+c}+\frac{b+c}{b+c+4a}+\frac{c+a}{c+a+16b}$
Ta có: $3-P=\dfrac{c}{a+b+c}+\dfrac{4a}{c+b+4a}+\dfrac{16b}{a+c+16b}$
Áp dụng BDT Schwarz ta có:
$\dfrac{4a}{c+b+4a}\leq \frac{a}{a+b+c}+\frac{a}{3a}$
$\dfrac{16b}{a+c+16b}\leq \frac{b}{a+b+c}+\frac{3b}{15b}$
Cộng theo vế ta đc:
$\dfrac{c}{a+b+c}+\dfrac{4a}{c+b+4a}+\dfrac{16b}{a+c+16b}\leq 1+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}$
Suy ra:3-P$\leq \frac{23}{15}$
nên P$\geq \frac{22}{15}$
Dấu bằng xảy ra khi nào nhi?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi provotinhvip: 01-01-2013 - 19:48

Hình đã gửi


#23
hoangkkk

hoangkkk

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết
Tiếp tục nào, sao ít thấy mọi người thảo luận thế nhỉ !

Bài toán 17 : Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $2a+b=1$. Chứng minh bất đẳng thức :
$$\frac{5a^3}{bc}+\frac{4b^3}{ca}+\frac{3c^3}{ab}\geq 4$$

Bài toán 18 : Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a\leq b\leq c$ và $abc=1$. Chứng minh bất đẳng thức :
$$a+b^2+c^3\geq \frac{1}{a}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^3}$$

Bài toán 19 : Cho $a,b,c$ là các số thực thỏa mãn $3a+2b+c=1$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức :
$$P=\frac{1}{1+\left | a \right |}+\frac{1}{1+\left | b \right |}+\frac{1}{1+\left | c \right |}$$

A2K40-er

My Blog : http://a2k40pbc.blogspot.com/


#24
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Bài toán 7: Cho $x, y, z \geq 0$, tìm min của $P$ thỏa mãn:
$$P=(\sum_{sym} {xy})(\sum_{sym} \frac{1}{x^2+y^2})$$

Lời giải.
Giả sử $x\geq y \geq z$
Ta có các bất đẳng thức sau:
$$x^2+z^2 \leq (x+\frac{z}{2})^2$$
$$y^2+z^2 \leq (y+\frac{z}{2})^2$$
$$x^2+y^2 \leq (x+\frac{z}{2})^2+(y+\frac{z}{2})^2$$
$$xy+yz+zx \geq (x+\frac{z}{2})(y+\frac{z}{2})$$
Đặt $a=x+\frac{z}{2}, b=y+\frac{z}{2}$. Ta có:
$$P \geq \frac{ab}{a^2+b^2}+\frac{a^2+b^2}{ab}$$
Từ đây ta dễ dàng chứng minh được $P\geq \frac{5}{2}$. Dấu '=' xảy ra khi $x=y, z=0$. Vậy $minP=\frac{5}{2}$

#25
lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết

Bài toán 16 : Cho $a,b,c$ là các số thực không âm và đôi một khác nhau. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
$$P=\left [ \left ( a+b \right )^2+\left ( b+c \right )^2+\left ( c+a \right )^2 \right ]\left [ \frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2} \right ]$$

Giả sử $c=min\left \{ a;b;c \right \}$.
Khi đó ta có $P\geq \left ( \left ( a+b \right )^{2}+a^{2}+b^{2} \right )\left ( \frac{1}{\left ( a-b \right )^{2}}+\frac{1}{a^{2}}+\frac{1}{b^{2}} \right )$$\Rightarrow \frac{P}{2}\geq \frac{a^{2}+ab+b^{2}}{\left ( a-b \right )^{2}}+\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )^{2}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$$=\frac{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}+1}{\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2}+\left ( \frac{a}{b}+\frac{b}{a} \right )^{2}+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}$.
Đến đây khảo sát hàm $f\left ( f \right )=\frac{t+1}{t-2}+t^{2}+t\left ( \left | t \right |>2 \right )$.
Ta có $f'\left ( t \right )=\frac{-3}{\left ( t-2 \right )}+2t+1$; $f'\left ( t \right )=0\Leftrightarrow 2t^{3}-7t^{2}+4t+1=0\Rightarrow t=\frac{5+\sqrt{33}}{4}$ (vì $\left | t \right |>2$ ).
Từ bảng biến thiên của hàm số ta suy ra $f\left ( t \right )\geq f\left ( \frac{5+\sqrt{33}}{4} \right )=\frac{59+11\sqrt{33}}{8}$.
Vậy $P_{min}=\frac{59+11\sqrt{33}}{4}$. Đẳng thức xảy ra khi và chỉ khi $\left\{\begin{matrix} c=0 & \\ \frac{a}{b}+\frac{b}{a}=\frac{5+\sqrt{33}}{4} & \end{matrix}\right.$.

#26
hoangkkk

hoangkkk

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Bài toán 9. Cho ba số $x,y,z\in \left ( 0;1 \right ]$ thỏa mãn $x+y\geq 1+z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^{2}}$.


Đặt $P$ là biểu thức ở vế trái. Ta có :
$$P=\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^{2}}=\frac{x^2}{x(y+z)}+\frac{y^2}{y(z+x)}+\frac{z}{xy+z^{2}}$$
Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz :
$$P\geq \frac{\left ( x+y \right )^2}{2xy+z(x+y)}+\frac{z}{xy+z^2}$$ $\left ( 1 \right )$
Đặt $x+y=t$, theo giả thiết ta có $t \in \left [ 1+z;2 \right ]$ và $xy \leq \frac {t^2}{4}$ $\left ( 2 \right )$. Theo $\left ( 1 \right )$ và $\left ( 2 \right )$ suy ra được :
$$P\geq \frac{2t^2}{t^2+2zt}+\frac{4z}{t^2+z^2}=f(t)$$
Xét $f'(t) = 4zt\left [ \frac{t}{\left ( t^2+2zt \right )^2}-\frac{2}{\left ( t^2+4z^2 \right )} \right ]$, mặt khác do $t \geq z+1$ và $z \leq 1$ nên $2zt \geq 4z^2$, lại có $t \leq 2$ suy ra $ \frac{t}{\left ( t^2+2zt \right )^2}\leq \frac{2}{\left ( t^2+4z^2 \right )}$
$\Rightarrow$ $f(t)$ là hàm nghịch biến với mọi $t\in \left [ z+1;2 \right ] \Rightarrow f(t)\geq f(2)=\frac{2}{1+z}+\frac{z}{z^2+1}=g(z)$

Khảo sát hàm $g(z)$, dễ thấy $g(z) \geq g(1)=\frac {3}{2}$

Vậy $P_{\min }=\frac{3}{2}$, đạt được khi và chỉ khi $x=y=z=1$

A2K40-er

My Blog : http://a2k40pbc.blogspot.com/


#27
provotinhvip

provotinhvip

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết

Bài toán 9. Cho ba số $x,y,z\in \left ( 0;1 \right ]$ thỏa mãn $x+y\geq 1+z$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức

$\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^{2}}$.

Cách khác:
Dựa vào:$x,y,z\in \left ( 0;1 \right ]$
Không mất tính tổng quát giả sử:$x\geq y\geq z$
ta có:$x\leq 1\Rightarrow xy\leq y$
$z^2\leq z$
Nên:$xy+z^2\leq y+z\leq y+x$
$\Rightarrow \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^{2}}\geq \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}\geq \frac{3}{2}$(Nesbitt)
Dấu "=" xảy ra khi:x=y=z=1

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi provotinhvip: 02-01-2013 - 22:01

Hình đã gửi


#28
hoangkkk

hoangkkk

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Cách khác:
Dựa vào:$x,y,z\in \left ( 0;1 \right ]$
ta có:$x\leq 1\Rightarrow xy\leq y$
$z^2\leq z$
Nên:$xy+z^2\leq y+z$
$\Rightarrow \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{xy+z^{2}}\geq \frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{y+x}\geq \frac{3}{2}$(Nesbitt)
Dấu "=" xảy ra khi:x=y=z=1

Sai rồi bạn. Để ý bạn viết nhầm ở chỗ áp dụng nesbitt.

A2K40-er

My Blog : http://a2k40pbc.blogspot.com/


#29
lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết

Sai rồi bạn. Để ý bạn viết nhầm ở chỗ áp dụng nesbitt.

Đến đó chắc có thể làm tương tự A2011 em à.

#30
lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
Bài toán 20. Cho $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$. Tìm giá trj lớn nhất của biểu thức

$P=\left ( a^{2}-b^{2} \right )\left ( b-c \right )+c^{2}\left ( 1-c \right )$.



#31
lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết

Bài toán 1. Cho $a,b,c$ là các số thực dương thoả mãn $\frac{4}{5}b\geq a-c\geq \frac{3}{5}b$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$P=\frac{12\left ( a-b \right )}{c}+\frac{12\left ( b-c \right )}{a}+\frac{25\left ( c-a \right )}{b}$.

Tự chém tự vác vậy :))
Ta có $Q=49-P=\frac{12\left ( b+c-a \right )}{c}+\frac{12\left ( c+a-b \right )}{a}+\frac{25\left ( a+b-c \right )}{b}$.
Đặt $\left\{\begin{matrix} 2x=b+c-a & \\ 2y=c+a-b & \\ 2z=a+b-c & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow \left\{\begin{matrix} a=y+z & \\ b=z+x & \\ c=x+y & \end{matrix}\right.$.
Vì $\frac{4}{5}b\geq a-c\geq \frac{3}{5}b$ hay $a\leq \frac{4}{5}b+c<b+c$ nên $0<4x\leq z\leq 9x$.
Xét $Q\left ( y \right )=\frac{24x}{x+y}+\frac{24z}{y+z}+\frac{50x}{x+z}$.
Ta có $Q'\left ( y \right )=\frac{24\left ( z-x \right )\left ( y^{2}-zx \right )}{\left ( x+y \right )^{2}\left ( y+z \right )^{2}}$; $Q'\left ( y \right )=0\Leftrightarrow y=\pm \sqrt{zx}$.
Dễ thấy khi $y\rightarrow -\infty$ thì $\left\{\begin{matrix} \frac{24x}{x+y}>0 & \\ \frac{24z}{z+y}\rightarrow 24^{+}& \\ \frac{50x}{z+x}=\frac{50}{1+\frac{z}{x}}\geq 40& \end{matrix}\right.\Rightarrow Q>64$.
Do đó ta chỉ cần xét $Q\left ( \sqrt{zx} \right )=\frac{48\sqrt{x}}{\sqrt{x}+\sqrt{z}}+\frac{50z}{z+x}=\frac{48t}{t+1}+\frac{50}{t^{2}+1}$ với $t=\sqrt{\frac{x}{z}},t\in \left [ \frac{1}{3};\frac{1}{2} \right ]$.
(để tìm $minQ$ :)) )
$f'\left ( t \right )=\frac{48t^{4}-100t^{3}-104t^{2}-100t+48}{\left ( t+1 \right )^{2}\left ( t^{2}+1 \right )^{2}}; f'\left ( t \right )=0\Leftrightarrow 12\left ( t+\frac{1}{t} \right )^{2}-25\left ( t+\frac{1}{t} \right )-50=0\Leftrightarrow t+\frac{1}{t}=\frac{10}{3}\Leftrightarrow t=\frac{1}{3}$.
Ta thấy $f\left ( \frac{1}{2} \right )=56; f\left ( \frac{1}{3} \right )=57$.
Suy ra $Q\geq 56$$\Rightarrow P\leq -7$.
Đẳng thức xảy ra khi $a=2c,3b=5c$.
Vậy $P_{max}=-7$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi lehoanghiep: 04-01-2013 - 21:26


#32
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết

Bài toán 20. Cho $0\leq a\leq b\leq c\leq 1$. Tìm giá trj lớn nhất của biểu thức

$P=\left ( a^{2}-b^{2} \right )\left ( b-c \right )+c^{2}\left ( 1-c \right )$.

Do $a^2 \geq 0$ nên ta có:
$$P \leq -b^2(b-c)+c^2(1-c)=-b^3+cb^2+c^2-c^3=f(b)$$
$$f'(b)=-3b^2+2bc$$
Từ đó, khảo sat hàm $f(b)$, ta có:
$$P \leq f(b) \leq f(\frac{2c}{3})=\frac{-23}{27}c^3+c^2=c^2(1-\frac{23c}{27})=(\frac{54}{23})^2(\frac{23c}{54})(\frac{23c}{54})(1-\frac{23c}{27})$$
Áp dụng bất đẳng thức $AM-GM$, ta suy ra:
$$P \leq (\frac{54}{23})^2.\frac{1}{27}=\frac{108}{529}$$
Dấu $'='$ xảy ra khi $a=0, c=\frac{18}{23}, b=\frac{12}{23}$
Vậy $max P=\frac{108}{529}$

#33
lehoanghiep

lehoanghiep

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 196 Bài viết
Bài toán 21. Cho các số thực dương $a, b, c$ đôi một khác nhau thỏa mãn $2a\leq c$ và $ab+bc=2c^{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$P=\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-c}+\frac{c}{c-a}$.



#34
hoangkkk

hoangkkk

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Bài toán 21. Cho các số thực dương $a, b, c$ đôi một khác nhau thỏa mãn $2a\leq c$ và $ab+bc=2c^{2}$. Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức

$P=\frac{a}{a-b}+\frac{b}{b-c}+\frac{c}{c-a}$.

Từ giả thiết ta được $b=\frac {2c^2}{a+c}$, thay vào $P$và viết $P$ lại thành :
$$P=\frac{a^2+ac}{a^2+ac-2c^2}+\frac{3c}{c-a}$$
Đặt $f\left (c \right )=\frac{ac+a^2}{-2c^2+ac+a^2}+\frac{3c}{c-a}$, ta khảo sát $f$ trên nửa khoảng $\left [2a;+\infty \right )$

Xét $f'\left ( t \right )=\frac{2ac(c+2a)}{(a-c)(a+2c)}-\frac{3a}{\left ( a-c \right )^2}=\frac{a}{a-c}\left [ \frac{2c(c+2a)}{a+2c}-\frac{3a}{a-c} \right ]$, lại có $a< c$ (do $2a \leq c$) nên dễ dàng suy ra được $f'(t)< 0$, như vậy $f(t)$ là hàm nghịch biến trên $\left [2a;+\infty \right )$, hay $f(t) \leq f(2a)=\frac{27}{5}$

Vậy $P\max =\frac{27}{5}$, đạt được khi và chỉ khi $\left ( a;b;c \right )=\left ( a;2a;\frac{8}{3}a \right )$

A2K40-er

My Blog : http://a2k40pbc.blogspot.com/


#35
hoangkkk

hoangkkk

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết
Bài toán 22 : Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^3+b^3+c^3=3$. Chứng minh rằng :
$$\frac{a^3}{b^2-2b+3}+\frac{2b^3}{c^3+a^2-2a-3c+7}+\frac{3c^3}{a^4+b^4+a^2-2b^2-6a+11}\leq \frac{3}{2}$$
(Trích đề thi thử số 4 TH&TT số 427)

Bài toán 23 : Cho $a,b,c$ là các số thực dương.Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
$$P=\frac{3\left ( b+c \right )}{2a}+\frac{4a+3c}{3b}+\frac{12\left ( b-c \right )}{2a+3c}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hoangkkk: 16-01-2013 - 16:35

A2K40-er

My Blog : http://a2k40pbc.blogspot.com/


#36
provotinhvip

provotinhvip

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 181 Bài viết

Bài toán 22 : Cho $a,b,c$ là các số thực dương thỏa mãn $a^3+b^3+c^3=3$. Chứng minh rằng :
$$\frac{a^3}{b^2-2b+3}+\frac{2b^3}{c^3+a^2-2a-3c+7}+\frac{3c^3}{a^4+b^4+a^2-2b^2-6a+11}\leq \frac{3}{2}$$
(Trích đề thi thử số 4 TH&TT số 427)

Topic dạo này buồn quá nhỉ!!???
Dự đoán dấu "=" xảy ra khi x=y=z=1
Theo AM-GM ta có:$b^2-2b+3\geq 2$
$c^3+a^2-2a-3c+7\geq 4$
$a^4+b^4+a^2-2b^2-6a+11\geq 6$
Nên:
$\frac{a^3}{b^2-2b+3}+\frac{2b^3}{c^3+a^2-2a-3c+7}+\frac{3c^3}{a^4+b^4+a^2-2b^2-6a+11}\leq \frac{a^3+b^3+c^3}{2}=\frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi provotinhvip: 16-01-2013 - 19:53

Hình đã gửi


#37
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết
Bài post giữ lời hứa :)
Bài 24: Cho tam giác ABC không có góc tù và $A,B,C \ge \frac{\pi}{4}$.Chứng minh rằng :
$$\tan A\tan B+\tan B\tan C+\tan C\tan A+3 \le 4(2-\sqrt{2})(\tan A+\tan B+\tan C)$$

Bài 25: Cho các góc $x,y,z$ thỏa mãn $|\sin x+\sin y+\sin z| \ge 2$.Chứng minh rằng :
$$|\cos x+\cos y+\cos z| \le \sqrt{5}$$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#38
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết
Bài 26:
Cho năm số dương $a, b, c, d, e$ thỏa mãn $a$ là số nhỏ nhất và $a+b+c+d+e=1$. Tìm Max $P=abc+bcd+cde+dea+eab$
(Trích đề thi thử chuyên ĐHSP Hà Nội)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Nxb: 21-01-2013 - 19:40


#39
hoangkkk

hoangkkk

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết
Bài toán 27 : Cho $a,b,c$ là $3$ số dương thỏa mãn: $a+b-c \geq 0, b+c-a \geq 0, c+a-b \geq 0, (a+b+c)^2=4(ab+bc+ca-1)$. Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức:
$$S= \sqrt{ \dfrac{b+a}{c}-1}+ \sqrt{ \dfrac{a+b}{c}-1}+ \sqrt{ \dfrac{a+c}{b}-1}+ \dfrac{2 \sqrt{2}}{ \sqrt{a^2+b^2+c^2-2}}$$
(Nguồn : http://www.toanphothong.vn/)
  • Nxb yêu thích

A2K40-er

My Blog : http://a2k40pbc.blogspot.com/


#40
Nxb

Nxb

    Thiếu úy

  • ĐHV Toán học Hiện đại
  • 679 Bài viết
Giống mấy bài ở trên:
Bài 28 Cho ba số thực không âm $a, b, c$ thỏa mãn $ab+bc+ca=4$. Tìm Min
$$P=\frac{1}{(a-b)^2}+\frac{1}{(b-c)^2}+\frac{1}{(c-a)^2}$$




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh