Lâu ngày mới lên lại diễn đàn tranh thủ đăng nhiều bài cùng lúc
Bài?
Cho các số thực dương thỏa mãn $ xy + yz + xz =3$
Tìm Min $P = \frac{1}{xyz} + \frac{4}{(x+y)(y+z)(z+x)}$
Ta có $(x+y)(y+z)(x+z)=(x+y+z)(xy+yz+xz)-xyz=3(x+y+z)-xyz$
$\Rightarrow P=\frac{1}{xyz}+\frac{4}{3(x+y+z)-xyz}$
Áp dụng AM-GM ta có $9=(xy+yz+xz)^2 \geq 3xyz(x+y+z)\Rightarrow 3(x+y+z) \leq \frac{9}{xyz}$
Do đó $\Rightarrow P \geq \frac{1}{xyz}+\frac{4}{\frac{9}{xyz}-xyz}$
Đặt $t=xyz \leq 1$ theo AM-GM, ta có ngay
$P \geq \frac{1}{t}+\frac{4}{\frac{9}{t}-t}=\frac{1}{t}+\frac{4t}{9-t^2}$
Dự đoán $P$ đạt Min khi $t=1$ nên ta sẽ chứng minh $P \geq \frac{1}{t}+\frac{4t}{9-t^2} \geq \frac{3}{2}$ với $t \leq 1$
BĐT đã cho tương đương với $(\frac{1}{t}-1)+(\frac{4t}{9-t^2}-\frac{1}{2}) \geq 0$
Quy đồng mẫu số ta có bđt tương đương
$(t-1)\left [ \frac{t+9}{2(9-t^2)} -\frac{1}{t}\right ] \geq 0$
$\Leftrightarrow (t-1)\frac{3t^2+9t-18}{2t(9-t^2)} \geq 0$
Nhưng bđt trên luôn đúng do $t \leq 1$
Vậy ta có đpcm
Dấu = xảy ra khi $t=1$ hay $x=y=z=1$