Chủ đề này có 2 trả lời

[yellow]

Cho $a,b,c>0$ và $a^{2006}+b^{2006}=a^{2005}+b^{2005}=a^{2004}+b^{2004}$. Tính $a^{1003}+b^{1003}$

[DarkBlood]

Cho $a,b,c>0$ và $a^{2006}+b^{2006}=a^{2005}+b^{2005}=a^{2004}+b^{2004}$. Tính $A=a^{1003}+b^{1003}$

Cách 1:
Ta có:
$a^{2004}+b^{2004}=a^{2005}+b^{2005}=a^{2006}+b^{2006}$
$\Leftrightarrow a^{2004}+a^{2006}+b^{2004}+b^{2006}=2\left ( a^{2005}+b^{2005} \right )$
$\Leftrightarrow a^{2004}\left ( a^2+1 \right )+b^{2004}\left ( b^2+1 \right )-2a^{2005}-2b^{2005}=0$
$\Leftrightarrow a^{2004}\left ( a-1 \right )^2+b^{2004}\left ( b-1 \right )^2=0$
Vì $a,b>0$ nên $a^{2004}>0;$ $b^{2004}>0$
Mặt khác $\left ( a-1 \right )^2\geq 0;$ $\left ( b-1 \right )^2\geq 0$ với mọi $a,b$
Nên $\left ( a-1 \right )^2=\left ( b-1 \right )^2=0$
$\Leftrightarrow a-1=b-1=0$
$\Leftrightarrow a=b=1$
Thay vào tính được $a^{1003}+b^{1003}=2$

Cách 2:
Ta có:
$a^{2004}+b^{2004}=a^{2005}+b^{2005}$
$\Leftrightarrow a^{2004}\left ( a-1 \right )+b^{2004}\left ( b-1 \right )=0$ $(1)$
$a^{2005}+b^{2005}=a^{2006}+b^{2006}$
$\Leftrightarrow a^{2005}\left ( a-1 \right )+b^{2005}\left ( b-1 \right )=0$ $(2)$
Từ $(1)$ và $(2),$ ta có:
$a^{2005}\left ( a-1 \right )-a^{2004}\left ( a-1 \right )+b^{2005}\left ( b-1 \right )-b^{2004}\left ( b-1 \right )=0$
$\Leftrightarrow a^{2004}\left ( a-1 \right )\left ( a-1 \right )+b^{2004}\left ( b-1 \right )\left ( b-1 \right )=0$
$\Leftrightarrow a^{2004}\left ( a-1 \right )^2+b^{2004}\left ( b-1 \right )^2=0$
Tới đây giải tương tự như cách 1.

Cách 3:
Ta có:
$\left ( a+b \right )\left ( a^{2005}+b^{2005} \right )$
$=a^{2006}+b^{2006}+ab\left ( a^{2004}+b^{2004} \right )$
$=a^{2005}+b^{2005}+ab\left ( a^{2005}+b^{2005} \right )$
$=\left ( a^{2005}+b^{2005} \right )\left ( ab+1 \right )$
Do đó: $a+b=ab+1$
$\Leftrightarrow \left ( 1-a \right )\left ( 1-b \right )=0$
$\Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} 1-a=0 \\ 1-b=0 \end{array} \right. \Leftrightarrow \left[ \begin{array}{l} a=1 \\ b=1 \end{array} \right.$
Trường hợp 1: $a=1$
Ta có:
$a^{2004}+b^{2004}=a^{2005}+b^{2005}$
$\Leftrightarrow b^{2004}=b^{2005}$
Mà $b>0$ nên $b=1$
Trường hợp 2: $b=1$
Ta có:
$a^{2004}+b^{2004}=a^{2005}+b^{2005}$
$\Leftrightarrow a^{2004}=a^{2005}$
Mà $a>0$ nên $a=1$
Từ $2$ trường hợp trên ta đều được $a=b=1$
Thay vào biểu thức $A,$ ta có:
$A=a^{1003}+b^{1003}=1+1=2$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 06-02-2013 - 06:42

[nthoangcute]

Cho $a,b,c>0$ và $a^{2006}+b^{2006}=a^{2005}+b^{2005}=a^{2004}+b^{2004}$. Tính $a^{1003}+b^{1003}$

Hình như chưa có ai làm cách này:
Cách 4:
Ta có: $\left( {a}^{2005}+{b}^{2005} \right) ^{2}- \left( {a}^{2006}+{b}^{2006} \right) \left( {a}^{2004}+{b}^{2004} \right) =-{a}^{2004}{b}^{2004} \left( a-b \right) ^{2}=0$
Suy ra ...

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 28-12-2012 - 11:30