Chủ đề này có 4 trả lời

[Sagittarius912]

cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$
CMR
$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\geq ab+bc+ca$
________________________________________________

[WhjteShadow]

cho $a,b,c>0$ thỏa mãn $a+b+c=3$
CMR
$\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c}\geq ab+bc+ca$
________________________________________________

Bài này có trên diễn đàn nhiều rùi
Theo Holder thì:
$(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})^3(a+b+c)^{5}\geq (a^{\frac{3}{4}}+b^{\frac{3}{4}}+c^{\frac{3}{4}})^{8}$
Ta sẽ chứng minh : $(a^{\frac{3}{4}}+b^{\frac{3}{4}}+c^{\frac{3}{4}})^{8}\geq 3^{5}(ab+bc+ca)^{3}$
Đặt $\sqrt[4]{a}=x,\sqrt[4]{b}=y,\sqrt[4]{c}=z$
BĐT $\Leftrightarrow (x^3+y^3+z^3)^{8}\geq 3^5(x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4)^{3}$
Đây là BĐT thuần nhất nên ta có thể bỏ qua Giả Thiết ban đầu để chuẩn hóa cho : $x^3+y^3+z^3= 3$
Khi đó ta cần CM : $x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4\leq 3$
Theo AM-GM : $x^3+y^3+1\geq 3xy\Rightarrow x^3y^3(x^3+y^3+1)\geq 3x^4y^4$
Do đó ta cần CM : $\sum x^3y^3(x^3+y^3+1)\leq 9$ khi $x^3+y^3+z^3= 3$
Ta có thể đua bài này về hệ quả quen thuộc của Schur :
Với $a+b+c= 3$. CMR : $\sum ab(a+b+1)\leq 9$ .....

[Sagittarius912]

Bài này có trên diễn đàn nhiều rùi
Theo Holder thì:
$(\sqrt[3]{a}+\sqrt[3]{b}+\sqrt[3]{c})^3(a+b+c)^{5}\geq (a^{\frac{3}{4}}+b^{\frac{3}{4}}+c^{\frac{3}{4}})^{8}$
Ta sẽ chứng minh : $(a^{\frac{3}{4}}+b^{\frac{3}{4}}+c^{\frac{3}{4}})^{8}\geq 3^{5}(ab+bc+ca)^{3}$
Đặt $\sqrt[4]{a}=x,\sqrt[4]{b}=y,\sqrt[4]{c}=z$
BĐT $\Leftrightarrow (x^3+y^3+z^3)^{8}\geq 3^5(x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4)^{3}$
Đây là BĐT thuần nhất nên ta có thể bỏ qua Giả Thiết ban đầu để chuẩn hóa cho : $x^3+y^3+z^3= 3$
Khi đó ta cần CM : $x^4y^4+y^4z^4+z^4x^4\leq 3$
Theo AM-GM : $x^3+y^3+1\geq 3xy\Rightarrow x^3y^3(x^3+y^3+1)\geq 3x^4y^4$
Do đó ta cần CM : $\sum x^3y^3(x^3+y^3+1)\leq 9$ khi $x^3+y^3+z^3= 3$
Ta có thể đua bài này về hệ quả quen thuộc của Schur :
Với $a+b+c= 3$. CMR : $\sum ab(a+b+1)\leq 9$ .....

công phu nhỉ, thế nếu đưa lên dạng tổng quát:
với $a+b+c=3$.CMR
$\sum \sqrt[k]{a}\geq \sum ab$
thì làm thế nào Đạt??

[WhjteShadow]

công phu nhỉ, thế nếu đưa lên dạng tổng quát:
với $a+b+c=3$.CMR
$\sum \sqrt[k]{a}\geq \sum ab$
thì làm thế nào Đạt??

Ta còn có bất đẳng thức:
Cho a, b, c là các số không âm thỏa $a + b + c = 3$. CMR: $a^k+b^k+c^k \ge ab + bc + ca$ với mọi $k \ge \frac{{2\ln 3 - 3\ln 2}}{{\ln 3 - \ln 2}}$
Vấn đề này đã được đề cập đến trong 1 tài liệu của anh Cẩn ( BĐT hiện đại hoặc BĐT và những lời giải đẹp... Tớ quên mất rồi :-s )

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 24-01-2013 - 18:07

[demonhunter000]

Ta còn có bất đẳng thức:
Cho a, b, c là các số không âm thỏa $a + b + c = 3$. CMR: $a^k+b^k+c^k \ge ab + bc + ca$ với mọi $k \ge \frac{{2\ln 3 - 3\ln 2}}{{\ln 3 - \ln 2}}$
Vấn đề này đã được đề cập đến trong 1 tài liệu của anh Cẩn ( BĐT hiện đại hoặc BĐT và những lời giải đẹp... Tớ quên mất rồi :-s )

Đây là tq của RMO2002.Trong stbđt cx có!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi demonhunter000: 30-12-2012 - 14:14