Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh $\frac{x}{2b+2c-a}=\frac{y}{2c+2a-b}=\frac{z}{2a+2b-c}$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 14 trả lời

#1
DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
Bài 1: Chứng minh phân thức sau tối giản với mọi số tự nhiên $n:$
$$\frac{n^3+2n}{n^4+3n^2+1}$$
Bài 2: Cho $\frac{2y+2z-x}{a}=\frac{2z+2x-y}{b}=\frac{2x+2y-z}{c}$

trong đó $a,$ $b,$ $c,$ $2b+2c-a,$ $2c+2a-c$ khác $0.$ Chứng minh rằng:
$$\frac{x}{2b+2c-a}=\frac{y}{2c+2a-b}=\frac{z}{2a+2b-c}$$
Bài 3: Chứng minh rằng nếu có đẳng thức
$$a\left ( b-c \right )x^2+b\left ( c-a \right )xy+c\left ( a-b \right )y^2=a\left ( x-y \right )^2$$
trong đó $a,$ $b,$ $c$ khác $0$ đúng với mọi $x$ và $y$ thì: $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$

Bài 4: Cho $x=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},$ $y=\frac{a^2-\left ( b-c \right )^2}{\left ( b+c \right )^2-a^2}$
Tính giá trị của biểu thức $x+y+xy.$

Bài 5: Tính giá trị của biểu thức sau, biết $a+b+c=0$
$$B=\left ( \frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b} \right )\left ( \frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a} \right )$$
Bài 6: Gọi $a,$ $b,$ $c$ là ba cạnh của một tam giác và $h_a,$ $h_b,$ $h_c$ là các đường cao tương ứng, chứng minh hệ thức:
$$\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=\left ( h_a+h_b+h_c \right )\left ( \frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c} \right )$$
_____________
P/s: Các bạn giải bài hạn chế sử dụng các dấu $\sum$ và $\prod$, đánh $\LaTeX$ khi biểu diễn công thức toán nhé! Nếu giải xong các bài trên rồi, mong các bạn post thêm một số bài nữa để cùng ôn tập về phần phân thức này.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Huy Thong: 28-12-2012 - 21:26


#2
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết

Bài 5: Tính giá trị của biểu thức sau, biết $a+b+c=0$
$$B=\left ( \frac{a-b}{c}+\frac{b-c}{a}+\frac{c-a}{b} \right )\left ( \frac{c}{a-b}+\frac{a}{b-c}+\frac{b}{c-a} \right )$$


Đáp số : $9$

#3
Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết

Đáp số : $9$

@@
Đặt $A=\dfrac{a-b}{c}+\dfrac{b-c}{a}+\dfrac{c-a}{b}$
Ta có:
$A=\dfrac{ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)}{abc}$
Vì $ab(a-b)+bc(b-c)+ca(c-a)=(a-b)(c-b)(c-a)$(cái này quen rồi :D)
$\Longrightarrow A=\dfrac{(a-b)(c-b)(c-a)}{abc}$
Đặt $a-b=z;b-c=x;c-a=y$ và $B=\dfrac{c}{a-b}+\dfrac{a}{b-c}+\dfrac{b}{c-a}$
Ta có:$x-y=-3c$
Tương tự với $y-z$ và $z-x$
$\Longrightarrow -3B=\dfrac{y-z}{x}+\dfrac{z-x}{y}+\dfrac{x-y}{z}$
Mần tương tự với $A$,ta có:
$Q=\dfrac{-9abc}{(a-b)(b-c)(c-a)}$
Vậy $AB=9$

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#4
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết

Bài 6: Gọi $a,$ $b,$ $c$ là ba cạnh của một tam giác và $h_a,$ $h_b,$ $h_c$ là các đường cao tương ứng, chứng minh hệ thức:
$$\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b}+\frac{1}{c} \right )=\left ( h_a+h_b+h_c \right )\left ( \frac{1}{h_a}+\frac{1}{h_b}+\frac{1}{h_c} \right )$$
_____________
P/s: Các bạn giải bài hạn chế sử dụng các dấu $\sum$ và $\prod$ nhé! Nếu giải xong các bài trên rồi, mong các bạn post thêm một số bài nữa để cùng ôn tập về phần phân thức này.


Ta có $(a+b+c)\left ( \frac{1}{a}+\frac{1}{b} +\frac{1}{c}\right ) =\left ( \frac{2S}{h_{a}}+\frac{2S}{h_{b}}+\frac{2S}{h_{c}} \right )\left ( \frac{h_{a}}{2S}+\frac{h_{b}}{2S} +\frac{h_{c}}{2S}\right )=(h_{a}+h_{b}+h_{c})\left ( \frac{1}{h_{a}}+\frac{1}{h_{b}} +\frac{1}{h}\right )$

#5
Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết
Bài 1:
Giả sử $(n^3+2n,n^4+3n^2+1)=d$
$\Longrightarrow n(n^3+2n)-(n^4+3n^2+1) \vdots d$
$\Longleftrightarrow -(n^2+1) \vdots d$
$\Longleftrightarrow n^2+1 \vdots d$
$\Longleftrightarrow (n^2+1)^2 \vdots d$
$\Longleftrightarrow n^4+2n^2+1 \vdots d$
$\Longrightarrow (n^4+2n^2+1)-n(n^3+2n) \vdots d$
$\Longleftrightarrow 1 \vdots d$
$\Longleftrightarrow \pm 1 =d$

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#6
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

Bài 3: Chứng minh rằng nếu có đẳng thức
$$a\left ( b-c \right )x^2+b\left ( c-a \right )xy+c\left ( a-b \right )y^2=a\left ( x-y \right )^2$$
trong đó $a,$ $b,$ $c$ khác $0$ đúng với mọi $x$ và $y$ thì: $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$


thay $x=1$ $y=0$ vào ta có
$ab-ac=a$
thay $x=0$, $y=1$ vào ta có
$ca-cb=a$
$\Rightarrow ab-ac=ca-cb\Rightarrow 2ac=ab+bc\Rightarrow \frac{2}{b}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}$ (dpcm)

#7
Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết

thay $x=1$ $y=0$ vào ta có
$ab-ac=a$
thay $x=0$, $y=1$ vào ta có
$ca-cb=a$
$\Rightarrow ab-ac=ca-cb\Rightarrow 2ac=ab+bc\Rightarrow \frac{2}{b}=\frac{1}{c}+\frac{1}{a}$ (dpcm)

Cách giải này lạ vậy ?
Sao thay được vậy anh ?

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#8
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

Bài 4: Cho $x=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc},$ $y=\frac{a^2-\left ( b-c \right )^2}{\left ( b+c \right )^2-a^2}$
Tính giá trị của biểu thức $x+y+xy.$

.[/font]

n nhóm lại ta có:
$x+y+xy=y(x+1)+x$
mà$x+1= \frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}+1=\frac{(b+c)^{2}-a^{2}}{2bc} \Rightarrow y(x+1)=\frac{(b+c)^{2}-a^{2}}{2bc}.\frac{a^{2}-(b-c)^{2}}{(b+c)^{2}-a^{2}}=\frac{a^{2}-(b-c)^{2}}{2bc}$
nên
$x+y+xy=\frac{a^{2}-(b-c)^{2}}{2bc}+\frac{b^{2}+c^{2}-a^{2}}{2bc}=1$

#9
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

Cách giải này lạ vậy ?
Sao thay được vậy anh ?

Bài 3: Chứng minh rằng nếu có đẳng thức
$$a\left ( b-c \right )x^2+b\left ( c-a \right )xy+c\left ( a-b \right )y^2=a\left ( x-y \right )^2$$
trong đó $a,$ $b,$ $c$ khác $0$ đúng với mọi $x$ và $y$ thì: $\frac{1}{a}+\frac{1}{c}=\frac{2}{b}$



đề là với mọi x,y mà em ^^

#10
Pham Le Yen Nhi

Pham Le Yen Nhi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết
Bài 1:
Gọi d là ước chung của $n^{3}+2n$ và $n^{4}+3n^{2}+1$
Ta có:
$n^{3}+2n \vdots d\Rightarrow n\left ( n^{3} +2n\right )\vdots d \Rightarrow n^{4}+2n^{2}\vdots d \left ( 1 \right )$
Ta có:
$n^{4}+3n^{2}+1-n^{4}-2n^{2} \vdots d \Rightarrow n^{2}+1\vdots d
\Rightarrow \left ( n^{2}+1 \right )^{2}\vdots d
\Rightarrow n^{4}+2n^{2}+1\vdots d$$\left ( 2\right )$
Từ$\left ( 1\right )$ và $\left ( 2\right )$
$\Rightarrow \left ( n^{4}+2n^{2}+1 \right )-\left ( n^{4}+2n \right )\vdots d \Rightarrow 1\vdots d \Rightarrow d=\pm 1$
Vậy $\frac{n^{3}+2n}{n^{4}+2n+1}$ là phân thức tối giản với mọi $n \epsilon \mathbb {N}$
Bài này trong NC và phát triển toán 8 (còn 1 cách giải nữa)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pham Le Yen Nhi: 28-12-2012 - 21:08


#11
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

Bài 2: Cho $\frac{2y+2z-x}{a}=\frac{2z+2x-z}{b}=\frac{2x+2y-z}{c}$
trong đó $a,$ $b,$ $c,$ $2b+2c-a,$ $2c+2a-c$ khác $0.$ Chứng minh rằng:
$$\frac{x}{2b+2c-a}=\frac{y}{2c+2a-b}=\frac{z}{2a+2b-c}$$

sử dụng tính chất của.....( gì đó quên tên mất rùi :luoi: ) ta có

$\frac{2y+2z-x}{a}=\frac{2z+2x-z}{b}=\frac{2x+2y-z}{c}=\frac{3(x+y+z)}{a+b+c}=n$ (1)

$\frac{2y+2z-x}{a}=\frac{2z+2x-z}{b}=\frac{(x+y+z)+3z}{a+b}=n$ (2)
từ (1) và (2) ta có
$\frac{(x+y+z)+3z}{a+b}=\frac{3(x+y+z)}{a+b+c}\Rightarrow \frac{z}{2x+2y-z}=\frac{x+y+z}{3(a+b+c)}=\frac{n}{9}$
tương tự với mấy cái kia ta có dpcm ( cùng bằng $\frac{n}{9}$
^^

#12
DarkBlood

DarkBlood

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 619 Bài viết
Xin lỗi mọi người, mình đã sửa lại đề bài 2 như ở trên.

Bài 2: Cho $\frac{2y+2z-x}{a}=\frac{2z+2x-y}{b}=\frac{2x+2y-z}{c}$
trong đó $a,$ $b,$ $c,$ $2b+2c-a,$ $2c+2a-c$ khác $0.$ Chứng minh rằng:
$$\frac{x}{2b+2c-a}=\frac{y}{2c+2a-b}=\frac{z}{2a+2b-c}$$

Chém thêm mấy bài nữa nào :lol:.
Bài 7: Cho $\frac{x^2+y^2+z^2}{a^2+b^2+c^2}=\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}+\frac{z^2}{c^2}.$ Chứng minh rằng $x=y=z=0.$


Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số $a;$ $b;$ $c$ khác nhau ta luôn có:
$$\frac{b-c}{\left ( a-b \right )\left ( a-c \right )}+\frac{c-a}{\left ( b-c \right )\left ( b-a \right )}+\frac{a-b}{\left ( c-a \right )\left ( c-b \right )}=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}$$
Bài 9: Cho $\frac{x^2-yz}{a}=\frac{y^2-zx}{b}=\frac{z^2-xy}{c}$
Chứng minh rằng $\frac{a^2-bc}{x}=\frac{b^2-ca}{y}=\frac{c^2-ab}{z}$


Bài 10: Cho $a;$ $b;$ $c$ là các số hữu tỷ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
$N=\frac{1}{\left ( a-b \right )^2}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^2}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^2}$ là bình phương của một số hữu tỷ.


#13
Pham Le Yen Nhi

Pham Le Yen Nhi

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 98 Bài viết
Bài 7:
Ta có:
$\frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}= \frac{x^{2}}{a^{2}}+\frac{y^{2}}{b^{2}}+\frac{z^{2}}{c^{2}}$
$\Rightarrow \frac{x^{2}+y^{2}+z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{x^{x}}{a^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}}=0$$
\Rightarrow \left ( \frac{x^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}} -\frac{x^{2}}{b^{2}}\right )+\left ( \frac{y^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{y^{2}}{b^{2}} \right )+\left ( \frac{z^{2}}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{z^{2}}{c^{2}} \right )=0$
$\Rightarrow x^{2}\left ( \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{1}{a^{2}} \right )+y^{2}\left ( \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{1}{b^{2}} \right )+z^{2}\left ( \frac{1}{a^{2}+b^{2}+c^{2}}-\frac{1}{c^{2}} \right )=0$
$\Rightarrow x^{2}\left ( \frac{-b^{2}-c^{2}}{a^{2}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right )} \right )+y^{2}\left ( \frac{-a^{2}-c^{2}}{b^{2}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right )} \right )+z^{2}\left ( \frac{-b^{2}-a^{2}}{c^{2}\left ( a^{2}+b^{2}+c^{2}\right )} \right )=0$
mà $a,b,c\neq 0$
nên $x^{2}=y^{2}=z^{2}=0$
Vậy x=y=z=0

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Pham Le Yen Nhi: 29-12-2012 - 14:26


#14
banhgaongonngon

banhgaongonngon

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1046 Bài viết

Bài 10: Cho $a;$ $b;$ $c$ là các số hữu tỷ đôi một khác nhau. Chứng minh rằng:
$N=\frac{1}{\left ( a-b \right )^2}+\frac{1}{\left ( b-c \right )^2}+\frac{1}{\left ( c-a \right )^2}$ là bình phương của một số hữu tỷ.


Đặt $\left\{\begin{matrix} a-b=x\\ b-c=y \\ c-a=z \end{matrix}\right.$ thì $x+y+z=0$
Ta có $N=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}=\frac{1}{x^{2}}+\frac{1}{y^{2}}+\frac{1}{z^{2}}+\frac{2}{xy}+\frac{2}{yz}+\frac{2}{zx}=\left ( \frac{1}{x} +\frac{1}{y}+\frac{1}{z}\right )^{2}$

#15
Sagittarius912

Sagittarius912

    Trung úy

  • Thành viên
  • 776 Bài viết

Xin lỗi mọi người, mình đã sửa lại đề bài 2 như ở trên.

Chém thêm mấy bài nữa nào :lol:.


Bài 8: Chứng minh rằng với mọi số $a;$ $b;$ $c$ khác nhau ta luôn có:
$$\frac{b-c}{\left ( a-b \right )\left ( a-c \right )}+\frac{c-a}{\left ( b-c \right )\left ( b-a \right )}+\frac{a-b}{\left ( c-a \right )\left ( c-b \right )}=\frac{2}{a-b}+\frac{2}{b-c}+\frac{2}{c-a}$$


Ta có:
$\frac{1}{a-b}+\frac{1}{b-c}=\frac{b-c+a-b}{(a-b)(b-c)}=\frac{a-c}{(a-b)(b-c)}=\frac{c-a}{(b-c)(b-a)}$
tương tự với mấy cái kia, cộng vế theo vế ta có dpcm ^^




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh