Đến nội dung

Hình ảnh

CMR: nếu $a+b=1$ thì $a^{n}+b^{n}\geq \frac{1}{2^{n-1}}$, $\forall n\geq 1, n\in N$

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
whiterose96

whiterose96

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
CMR: nếu $a+b=1$ thì $a^{n}+b^{n}\geq \frac{1}{2^{n-1}}$, $\forall n\geq 1, n\in N$

Hình đã gửi


#2
tinhyeutuoitre

tinhyeutuoitre

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết
cái này dùng quy nạp nha bạn
với n=1 và n=2 bất đẳng thức đúng(chứng minh điều này khá đơn giản)
g/s: bdt đúng đến n=k-1 thì ta phải chứng minh $a^{k}+b^{k}\geq \frac{1}{2^{k-1}}$
ta có $a^{k}+b^{k}=(a+b)(a^{k-1}+b^{k-1})-ab(a^{k-2}+b^{k-2})\geq a^{k-1}+b^{k-1}-\frac{(a+b)^{2}}{4}(a^{k-2}+b^{k-2})\geq \frac{1}{2^{k-2}}-\frac{1}{2^{k-1}}=\frac{1}{2^{k-1}}$
từ đó ta có dpcm
TÌNH YÊU TOÁN CŨNG ĐẾN TỪ TRÁI TIM

#3
whiterose96

whiterose96

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

cái này dùng quy nạp nha bạn
với n=1 và n=2 bất đẳng thức đúng(chứng minh điều này khá đơn giản)
g/s: bdt đúng đến n=k-1 thì ta phải chứng minh $a^{k}+b^{k}\geq \frac{1}{2^{k-1}}$
ta có $a^{k}+b^{k}=(a+b)(a^{k-1}+b^{k-1})-ab(a^{k-2}+b^{k-2})\geq a^{k-1}+b^{k-1}-\frac{(a+b)^{2}}{4}(a^{k-2}+b^{k-2})\geq \frac{1}{2^{k-2}}-\frac{1}{2^{k-1}}=\frac{1}{2^{k-1}}$
từ đó ta có dpcm


bạn có làm đc theo cách dùng nhị thức newton k? có cách đó nữa nhưng mình làm chưa ra

Hình đã gửi


#4
tinhyeutuoitre

tinhyeutuoitre

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 32 Bài viết
cách đó tớ không biết nhưng tớ có cách khác đó bạn
bạn nhân chéo lên xong dùng bất đảng thức holder nha
TÌNH YÊU TOÁN CŨNG ĐẾN TỪ TRÁI TIM

#5
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

CMR: nếu $a+b=1$ thì $a^{n}+b^{n}\geq \frac{1}{2^{n-1}}$, $\forall n\geq 1, n\in N$

Đặt $a=\frac{1}{2}+h;b=\frac{1}{2}-h$ do đó $$a^n+b^n=\left(\frac{1}{2}+h \right )^n+\left(\frac{1}{2}-h \right )^n =\left(\frac{1}{2n}+C_n^1 \frac{h}{2^{n-1}}+C_n^2.\frac{h^2}{2^{n-2}}+... \right )+\left(\frac{1}{2}-C_n^2.\frac{h^2}{2^{n-2}}+... \right )$$
$$=\frac{1}{2^{n-1}}+C_n^2\frac{h}{2^{n-1}}+C_n^4\frac{h^4}{2^{n-3}}+... \ge \frac{1}{2^{n-1}}$$
Dấu "=" xảy ra khi $h=0 \iff a=b=\frac{1}{2}$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#6
whiterose96

whiterose96

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết

$\frac{1}{2^{n-1}}+C_n^2\frac{h}{2^{n-1}}+C_n^4\frac{h^4}{2^{n-3}}+... \ge \frac{1}{2^{n-1}}$


Kiên giải thích rõ phần này đi, tớ bị mắc chỗ này k hiểu

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi whiterose96: 30-12-2012 - 12:05

Hình đã gửi


#7
Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 2946 Bài viết

Kiên giải thích rõ phần này đi, tớ bị mắc chỗ này k hiểu

Cái này hiển nhiên thôi mà :| ví dụ cho $a,b \ge 0$ thì $a^2+b^2 \ge a$ khi đó $b=0$

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#8
whiterose96

whiterose96

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 80 Bài viết
Ừ nhỉ, tớ k để ý kĩ :unsure:

Hình đã gửi





0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh