Trước hết, để bắt đầu, tôi sẽ post một phần bài tập về nhà của tôi về các lý thuyết này của tôi lên đây, và sẽ cố gắng edit hằng ngày nó để dịch ra tiếng việt. Sau khi thảo luận về trường lượng tử topo, chúng ta sẽ nói đến môt hình sigma poisson như là một cỗ máy để sản sinh ra các lý thuyết trường và các bất biến topo cổ điển như là các đa thức Jones và đa thức alexandre như là một trường hợp rất đặc biệt. Sau đó tôi dự định sẽ nói về các không gian moduli của lý thuyết trường lượng tử topo, E-gravity, gauge theory và lý thuyết YangMill như là các khía cạnh riêng. Sau khi nói về giả thuyết hình thức của Kontsevich, và đối đồng điều BRST, tôi sẽ nói về lý thuyết biểu diễn của các đại số vô hạn chiều xuất hiện trong lý thuyết trường lượng tử như là đại số đỉnh, đại số chiral và có thể cả đại số KacMoody. Tôi giả sử các kiến thức sơ cấp như là hình học symplectic, nhóm Lie, đại số toán tử và hình học đại số cơ bản là đã biết. Nếu ai chưa rõ thì cứ thoải mái đặt câu hỏi và tôi và QC sẽ cố gắng trả lời nếu có thể. Nói chung đây là chương trình khá dài nên thỉnh thoảng tôi sẽ post một bài.
Trong cơ học cổ điển, có 2 cách để mô tả phương trình chuyển động của một hệ cơ học. Cách thứ 1 là viết ra chính xác phương trình vi phân của chuyển động tại mọi thời điểm như là một điểm trên không gian pha (Không gian tất cả các trạng thái có thể có của hệ) Người ta gọi đây là cách tiếp cận của Hamilton và cái này đã trở thành cổ điển và nên được biết bởi bất cưa một sinh viên đại học ngành toán nào.
Phương pháp thứ 2 là miêu tả tiến hóa của hệ thông qua việc mô tả phiến hàm tác động trên không gian tất cả các đường có thể có nối hai điểm cho truớc và được gọi là phương pháp của Largrang. Hai cách tiến tới này là tương đương nhau và ta chỉ đi theo cách thứ 2.
[b]Một lý thuyết trường bao gồm [b]
1. Một đa tạp topo, trơn, có thể có biên được gọi là worldsheet.trường hợp 2 chiều, nó có thể hiểu là phần không gian được quét nên bởi các dây topo và các tương tác của nó (lý thuyết dây)
2. Một họ các trường trên worldsheet. Trong lý thuyết trường cổ điển, chúng có thể là các hàm, hay tổng quát hơn là các lát cắt của một phân thớ trên worldsheet. Trong các lý thuyết trường luợng tử, đó là các hàm suy rộng nhận giá trị toán tưt trên worldsheet hoặc trên spacetime.
3. Một Largrange, mà là một phiến hàm của các trường, L( , _x, _y...).
Nhắc lại rằng trong cơ học cổ điển, Largrangian là giá trị trung bình của hiệu số giữa thế năng và động năng, và chuyển động thực tế diễn ra sao cho phiến hàm này đạt giá trị cực tiểu.Các trường cổ điển được xác định bằng việc cực tiểu hóa phiến hàm tác động:
S( ) = L( , x, y...)
Thông qua phương trình (tát nhiên, cực tiểu thì đạo hàm phải bằng 0)
:frac{d S}{d } = 0.
Trong lý thuyết lượng tử, chuyển động nói chung không theo quy tác thông thường của vật lý cổ điển mà theo tất cả các đường có thể có với các sác xuất khác nhau. Theo lý thuyết sác xuất, đối với các biến ngẫu nhiên l_i người ta thường thiết lập một số E(l1..ln) để đo mối quan hệ giữa chúng, gọi là cỏrelation function(chả biết gọi thế nào). Ở đây, hàm corelation được cho bởi
<l1(t1), ..., ln(tn)> = l1( (ti))...ln( (tn))e^{S( )/ h} d:Phi
Ở đây d là độ đo trên không gian tất cả các đường có thể nối hai điểm cho trước trên không gian phase. Sự tồn tại của một đọ đo và do đó một tích phân như thế được coi là một tiên đề của quá trình lượng tử hóa và tích phân thuộc loại này được gọi là tích phân đường Feymann do chúng được lấy trên không gian của tất cả các đường.
Một lý thuyết trường lượng tử topo là một lý thuyết trường lượng tử mà những sản phẩm đầu ra của nó như là các corelation functions, partition function không phụ thuộc vào các cấu trúc bề ngoài của đa tạp worldwheet như là các cấu trúc metric, sympletic... mà chỉ phụ thuộc vào bản chất topo của đa tạp nền.
Hiển nhiên một điều rằng các nhà toán học rất căm tức điều này. Từ quan điểm toán học, các không gian có thể lấy được tích phân nói chung là compact địa phương, Hausdorff (tích phân được hiểu theo nghĩa Radon). Hiển nhiên rằng những điều kiện đó không thể được thỏa mãn ở đây. Vấn đề định nghĩa tích phân này trở thành một bài toán thú vị và hoàn toàn không tầm thường về mặt toán học. Có một số cách tiếp cận vấn đề này.
Người ta có thể tam giác hóa Worldsheet thành một politope và do đó không gian tất cả các đường trở thành không gian hữu hạn chiều và do đó tích phân đường thực sự tồn tại. Sau đó ta cho số mặt của Politope tiến tới vô hạn và tich phân sẽ dần tới một giá trị xác định.
Từ quan điểm toán học, một số người có xu hướng quên đi toàn bộ tất cả các nguồn gốc vật lý của tích phaan và định nghĩa các lý thuyết trường lượng tử topo như là một hàm tử từ phạm trù các đa tạp topo có biên và phạm trù các không gian vec tơ. Các tính chất cơ bản của lý thuyết trường lượng tưt nhận được từ tích phân đường Feymann bây giờ được định nghĩa trực tiếp như là các tiên đề cho hàm tử này mà không cần giải quyết trực tiếp sự tồn tại của nó. Đây là môth hướng tiếp cận rất hay, đựoc biết đến nhờ Atiyah và Segal.
Witten thì lại nghĩ theo một cách khác. Ong đã biến đổi một cách hình thức tích phân này về tích phân trên không gian tất cả các Metric trên một diện Rieman có giống g, modulo một quan hệ tương đương mà ta vẫn gọi là không gian moduli vàkhong gian này hữu hạn chiều. Tích phân do đó được xác định và ngược trở lại, một lý thuyết trường lượng tử topo luc đó sẽ xác định một bất biến topo cua đa tạp nền. Rất nhiều bất biến topo cổ điển có thể được xem như là một trường hợp riêng của lý thuyết này, ví dụ như các đa thức Jones hay là các đa thức Alexander. Đâ chính là một trong những cách tiếp cân toán học theo quan điểm của vật lý và nhiều lý thuyết toán học lại trở thành các hệ quả của các lý thuyết bên vật lý và ngược lại. Witten được coi như là người đã khởi đầu nên cả một cuộc cách mạng lần thứ 2 về lý thuyết dây (string theory) bên vật lý năng lượng cao, nhưng lại được giải Field về toán do khả năng nhìn ra các lý thuyết toán học nhờ các tư tưởng vật lý như lý thuyết dây, hình học không giao hoán và trường lượng tử. Hi vọng mọi người sẽ tìm đọc nguyên bản của các công trình này.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ronaldo: 13-04-2007 - 19:44