Chủ đề này có 2 trả lời

[Ispectorgadget]

Tìm $a,b$ để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất \[\left\{ \begin{array}{l}
xyz + z = a\\
xy{z^2} + z = b\\
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4
\end{array} \right.\]

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 30-12-2012 - 20:25

[Primary]

Tìm $a,b$ để hệ phương trình sau có nghiệm duy nhất \[\left\{ \begin{array}{l}
xyz + z = a\\ (1)
xy{z^2} + z = b\\ (2)
{x^2} + {y^2} + {z^2} = 4 (3)
\end{array} \right.\]

Xét z=0 ta có a=b=0 khi đó $x^2+y^2=4$ (không thỏa yêu cầu)
Xét y=0 ta có $\left\{\begin{matrix}z=a=b & & \\ x^2+y^2=4-a^2 & & \end{matrix}\right.$
$\Rightarrow \left | a \right |=|b|\leq 2$
*Nếu a=b=0 thì x=y=0 nên hệ có nghiệm (0;0;0)
*Nếu $0<\left | a \right |=|b|\leq 4$ thì hệ tồn tại vô số $x,y\in (0;2]$ (không tỏa yêu cầu)
Xét x=0 cũng tương tự như trường hợp y=0
Xét $x,y,z\neq 0$
Thay $xyz=a-z$ từ (1) vào (2): $az-z^2+z=b\Leftrightarrow z^2-(a+1)z+b=0$ (*)
Hệ có nghiệm $\Leftrightarrow (*)$ có nghiệm kép $\Leftrightarrow (a+1)^2\geq 4b$
$\Rightarrow z=\frac{a+1}{2}$. Khi đó $(3)\Leftrightarrow x^2+y^2=4- (\frac{a+1}{2})^2$
Do hệ có nghiệm duy nhất nên $(\frac{a+1}{2})^2=4\Leftrightarrow a=3\vee a=-5$ $\Rightarrow b\leq 4$
Tóm lại $a=b=0$ hoặc $a=3,b\leq 4$ hoặc $a=5,b\leq 4$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 30-12-2012 - 21:00

[MyLoVeForYouNMT]

Em thử cách này xem có đúng k nhé a Kiên
Điều kiện cần:
Giả sử hệ có nghiệm $(x_0;y_0;z_0)$ thì hệ còn nghiệm $(-x_0;-y_0;z_0)$
Vậy điều kiện cần để hệ có nghiệm duy nhất là: $x_0=0;y_0=0$
Hệ trở thành:\[\left\{\begin{matrix}
z=a & & \\ z=b
& & \\z=c
\end{matrix}\right.\]
Suy ra điều kiện cần là:
$a=b=2$ hoặc $a=b=-2$
Điều kiện đủ: Với a=b=2 ta có:

\[\left\{\begin{matrix}
xyz+z=2 & & \\
xyz^2+z=2 & & \\
x^2+y^2+z^2=4\end{matrix}\right.\]

\[\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}
xyz(z-1)=2 & & \\
xyz+z=2 & & \\
x^2+y^2+z^2=4\end{matrix}\right.\]
Xét (1) $xyz=0 \Rightarrow z=2\Leftrightarrow x^2+y^2=0$
$\Rightarrow x=y=0 ™$
Xét (2) \[z=1\Rightarrow \left\{\begin{matrix} xy=1 & \\ x^2+y^2=3 & \end{matrix}\right\]

Có nghiệm khác x=y=0;z=2
Vậy hệ có nghiệm duy nhất khi a=b=2 không thỏa mãn
Với a=b=-2 chứng minh như trên suy ra a=b=-2 thỏa mãn hệ đã cho có nghiệm duy nhất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi MyLoVeForYouNMT: 30-12-2012 - 21:58