Chủ đề này có 1 trả lời

[demonhunter000]

Thêm nữa nhé!!
Tìm tất cả nghiệm nguyên dương cho pt:$p^{x}-y^{p}=1$ trong đó :$p\in p$
CS 1996

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi demonhunter000: 31-12-2012 - 01:30

[nguyenta98]

Thêm nữa nhé!!
Tìm tất cả nghiệm nguyên dương cho pt:$p^{x}-y^{p}=1$ trong đó :$p\in p$
CS 1996

Giải như sau:
Nếu $p=2$ ta có $2^x=y^2+1$ khi ấy $x=1$ vì ngược lại $x\geq 2$ thì $VT \equiv 0 \pmod{4} \Rightarrow y^2 \equiv 3 \pmod{4}$ loại suy ra $(x,y,p)=(1,1,2)$
Nếu $p>2$ suy ra $p$ lẻ
$p^x=y^p+1=(y+1)(y^{p-1}-y^{p-2}+...+y^2-y+1)$
Do $y+1\geq 2$ nên $y+1=p^u$ suy ra $y=p^u-1$
Như vậy thay vào phương trình $p^x=y^p+1=(p^u-1)^p+1=(p^u)^p-\binom{p}{1}.(p^u)^{p-1}+...-\binom{p}{p-2}.(p^u)^2+\binom{p}{p-1}.(p^u)-1+1=(p^u)^p-\binom{p}{1}.(p^u)^{p-1}+...-\binom{p}{p-2}.(p^u)^2+\binom{p}{p-1}.(p^u)$
Dễ thấy do $u\geq 1$ nên $(p^u)^p-\binom{p}{1}.(p^u)^{p-1}+...-\binom{p}{p-2}.(p^u)^2 \vdots p^{2u+1}$ (do $\binom{p}{p-2} \vdots p$)
Còn $v_p(\binom{p}{p-1}.p^u)=u+1$ (do $\binom{p}{p-1}=p$) với $u\geq 1$ nên suy ra $v_p(y^p+1)=u+1$ suy ra $x=u+1$
Mặt khác $p^x=y^p+1=(y+1)(y^{p-1}-y^{p-2}+...+y^2-y+1)$ thay $y+1=p^u$ suy ra $y^{p-1}-y^{p-2}+...+y^2-y+1=p$
TH1: $p=3$ suy ra $y^2-y+1=3$ khi ấy $y=2$ suy ra $y+1=p^u \Rightarrow p=3,u=1$ khi ấy $x=2$
TH2: $p\geq 5$ khi ấy $y\geq 2$ vì nếu $y=0,1$ thì $y^{p-1}-y^{p-2}+...+y^2-y+1=1$ vô lí
Như vậy $y\geq 2$ nên $y^{p-1}-y^{p-2}+...+y^2-y+1\geq y^{p-2}+y^{p-4}+...+y+1>y^{p-2}\geq 2^{p-2}$
Bằng quy nạp với $p\geq 5$ cm được $2^{p-2}>p$ suy ra vô lí
Vậy $\boxed{(x,y,p)=(1,1,2),(2,2,3)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nguyenta98: 31-12-2012 - 12:00