Bài toán: Cho tam giác nhọn $A_1A_2A_3$.Gọi $K_1;L_1$ lần lượt là chận đường cao kẻ từ $A_1$ và là điểm tiếp xúc của đường tròn nội tiếp với cạnh $A_2A_3$.Định nghĩa tương tự cho $K_2;K_3;_2;L_3$.Qua đường thẳng $L_1L_2$,lấy đường thẳng đối xứng với $K_1K_2$.Cứ như thế,qua $L_2L_3$ lấy đường thẳng đối xứng với $K_2K_3$,qua $L_3L_1$ thì lấy đường thẳng đối xứng qua $K_3K_1$.Chứng minh rằng 3 giao điểm của 3 đường thẳng này nằm trên đường tròn nội tiếp tam giác $A_1A_2A_3$.
3 Giao điểm của 3 đường thẳng nằm trên đường tròn nội tiếp tam giác $A_1A_2A_3$.
Bắt đầu bởi dark templar, 31-12-2012 - 23:00
for all happy new year
#1
Đã gửi 31-12-2012 - 23:00
- perfectstrong yêu thích
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.
#2
Đã gửi 01-01-2013 - 09:11
Chứng minh cho bài này em sẽ post sau. Một số phát hiện khác xung quanh bài toán
Xét $(i;j;k)$ là một bộ hoán vị của $(1;2;3)$. Đặt $d_k$ là đường thẳng đối xứng với $K_iK_j$ qua $L_iL_j$.
Gọi $X_k$ là giao điểm của $d_i$ và $d_j$. Gọi $(O);(I)$ là đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp $\vartriangle A_1A_2A_3$. Khi đó:
1) $\vartriangle X_1X_2X_3$ nội tiếp $(I)$ và đồng dạng cùng hướng với $\vartriangle A_1A_2A_3$ theo tỉ số $\dfrac{r}{R}$, có $A_iA_j \parallel X_iX_j\,\,\forall i\ne j$
2) $A_1X_1;A_2X_2;A_3X_3$ đồng quy tại $Z$ là điểm chia đoạn $IO$ theo tỉ số $\dfrac{r}{R}$
@Dark templar:Nếu em chứng minh được các nhận định của em thì quá tốt
@Perfectstrong: Em chỉ mới chứng minh sự đồng dạng cùng hướng của 2 tam giác đó chứ chưa chứng minh nó đồng dạng theo tỉ số $\dfrac{r}{R}$
Xét $(i;j;k)$ là một bộ hoán vị của $(1;2;3)$. Đặt $d_k$ là đường thẳng đối xứng với $K_iK_j$ qua $L_iL_j$.
Gọi $X_k$ là giao điểm của $d_i$ và $d_j$. Gọi $(O);(I)$ là đường tròn ngoại tiếp và nội tiếp $\vartriangle A_1A_2A_3$. Khi đó:
1) $\vartriangle X_1X_2X_3$ nội tiếp $(I)$ và đồng dạng cùng hướng với $\vartriangle A_1A_2A_3$ theo tỉ số $\dfrac{r}{R}$, có $A_iA_j \parallel X_iX_j\,\,\forall i\ne j$
2) $A_1X_1;A_2X_2;A_3X_3$ đồng quy tại $Z$ là điểm chia đoạn $IO$ theo tỉ số $\dfrac{r}{R}$
@Dark templar:Nếu em chứng minh được các nhận định của em thì quá tốt
@Perfectstrong: Em chỉ mới chứng minh sự đồng dạng cùng hướng của 2 tam giác đó chứ chưa chứng minh nó đồng dạng theo tỉ số $\dfrac{r}{R}$
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi perfectstrong: 01-01-2013 - 09:46
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!!
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#3
Đã gửi 01-01-2013 - 09:23
Hình như bài này là IMO 2000 ^^
@Dark templar:Đừng spam quá em nhé,lần này anh không xóa bài.
@Dark templar:Đừng spam quá em nhé,lần này anh không xóa bài.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 01-01-2013 - 09:39
Được gắn nhãn với một hoặc nhiều trong số những từ khóa sau: for all, happy new year
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Các dạng toán khác →
Một số bài toán tính tổng chọn lọcBắt đầu bởi hxthanh, 02-04-2013 dark templar, hxthanh, for all |
|
|||
Toán Trung học Phổ thông và Thi Đại học →
Đại số →
Phương trình - hệ phương trình - bất phương trình →
$x^4+ax^3+bx+c=0$ có các nghiệm đều là số thực thì $ab \le 0$.Bắt đầu bởi dark templar, 15-12-2012 for all |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Dãy số - Giới hạn →
Chứng minh:$$\lim_{k \to +\infty}f_{k}(x)=1$$Bắt đầu bởi dark templar, 11-11-2012 for all |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Bất đẳng thức - Cực trị →
$$\sum_{cyc}\left(\frac{a}{2a+b} \right)^3 \ge \frac{1}{9}$$Bắt đầu bởi dark templar, 11-11-2012 for all |
|
|||
Toán thi Học sinh giỏi và Olympic →
Tổ hợp và rời rạc →
$\sum_{k=0}^{\left\lfloor\frac{n}{3}\right\rfloor} \binom{n}{3k} = ?$Bắt đầu bởi hxthanh, 03-11-2012 for all |
|
0 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh