Chủ đề này có 4 trả lời

[chuyentoan]

Các đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại $A$ và $B$, $CD$ là đường thẳng qua $O_1$ cắt $(O_1)$ tại $D$ và tiếp xúc với $(O_2)$ tại $C$, $AC$ tiếp xúc với $(O_1)$ tại $A$. Kẻ $AE$ vuông góc $CD$ và $AE$ cắt $(O_1)$ tại $E$. Kẻ $AF$ vuông góc $DE$ và $AF$ cắt $DE$ tại $F$. Chứng minh rằng $BD$ chia đôi $AF$

[PSW]

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng   cho bài toán này

Hoa hồng hi vọng   sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu đến hết ngày 10/04 mà vẫn không ai giải được bài này thì BTC sẽ công bố bài toán khác. Nhưng hoa hồng hi vọng sẽ tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này

[henry0905]

Các đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại $A$ và $B$, $CD$ là đường thẳng qua $O_1$ cắt $(O_1)$ tại $D$ và tiếp xúc với $(O_2)$ tại $C$, $AC$ tiếp xúc với $(O_1)$ tại $A$. Kẻ $AE$ vuông góc $CD$ và $AE$ cắt $(O_1)$ tại $E$. Kẻ $AF$ vuông góc $DE$ và $AF$ cắt $DE$ tại $F$. Chứng minh rằng $BD$ chia đôi $AF$

$CO_{2}$ cắt ($O_{2}$) tại M

Ta có: $\widehat{CAM}=90^{0}=\widehat{CAO_{1}}$

$\Rightarrow$ $M, A, O_{1}$ thẳng hàng

Xét $\triangle AFD$ và $\triangle MCO_{1}$ có:

$\widehat{DFA}=90^{0}=\widehat{MCO_{1}}$

$\widehat{FDA}=\widehat{CO_{1}M}$ (=$\frac{1}{2}$ sđ cung AE)

$\Rightarrow$ $\triangle AFD$ đồng dạng $\triangle MCO_{1}$

$\Rightarrow \frac{AF}{MC}=\frac{DA}{MO_{1}}$ (1)

Gọi K là giao điểm của AF và BD

Xét tam giác AKD và tam giác $MO_{2}O_{1}$

$\widehat{O_{2}MO_{1}}=\widehat{FAD}$ (do cặp tam giác đồng dạng trên)

$\widehat{O_{2}O_{1}M}=\widehat{KDA}$ $(=\frac{1}{2}$ sđ cung AB)

$\Rightarrow \triangle AKD\sim \triangle MO_{2}O_{1}$

$\Rightarrow \frac{AD}{MO_{1}}=\frac{KA}{MO_{2}}$ (2)

Mà $O_{2}$ là trung điểm CM (3)

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow$ K là trung điểm AF (đpcm)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 10-04-2013 - 21:45

[PSW]

Chấm bài 

henry0905: 50 điểm

[malx]

Vì $AC$ là tiếp tuyến của $(O_{1}), E$ đối xứng với $A$ qua $OC$ nên $CE$ cũng là tiếp tuyến của $(O_{1}), EO_{1} $ cắt $(O_{1})$ tại điểm thứ hai $G, CE$ cắt $(O_{2})$ tại điểm thứ hai $K$. Dễ thấy $\angle EKA = \angle DCA = \angle GEK$ nên ba điểm $G, A, K$ thẳng hàng. Lại có $\angle GBA = \angle GEA = \angle CKA = 180^{\circ} - \angle CBA$ nên ba điểm $G, B, C$ thẳng hàng.

Quan sát tứ giác $GEBA$ nội tiếp trong $(O_{1})$, điểm $C$ là giao điểm của hai tiếp tuyến tại $E$ và $A$ nên $CG$ chính là đường đối trung của đỉnh $G$, tứ giác này là tứ giác điều hòa. Lưu ý là $AF\parallel  DG$, chùm điều hòa $D(GABE)$ cắt đường thẳng $AF$ tại $\infty, A, M, F$ với $M \equiv DB \cap AF$ nên $M$ là trung điểm của $AF$

 

 

Hình gửi kèm

•