Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh rằng $BD$ chia đôi $AF$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1 chuyentoan

chuyentoan

    None

  • Hiệp sỹ
  • 1650 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Darmstadt - Germany
  • Sở thích:Guitar, Bóng đá

Đã gửi 03-12-2005 - 13:04

Các đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại $A$ và $B$, $CD$ là đường thẳng qua $O_1$ cắt $(O_1)$ tại $D$ và tiếp xúc với $(O_2)$ tại $C$, $AC$ tiếp xúc với $(O_1)$ tại $A$. Kẻ $AE$ vuông góc $CD$ và $AE$ cắt $(O_1)$ tại $E$. Kẻ $AF$ vuông góc $DE$ và $AF$ cắt $DE$ tại $F$. Chứng minh rằng $BD$ chia đôi $AF$


The only way to learn mathematics is to do mathematics

#2 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 09-04-2013 - 22:09

Bài toán này thuộc Gameshow NHỮNG BÀI TOÁN TRONG TUẦN. Bài toán đã được công bố lại nhiều ngày nhưng chưa ai giải được. BTC đã đặt hoa hồng hi vọng  @};- cho bài toán này

Hoa hồng hi vọng  @};- sẽ mang lại 50 điểm cho người đầu tiên giải đúng được bài toán này. Nếu đến hết ngày 10/04 mà vẫn không ai giải được bài này thì BTC sẽ công bố bài toán khác. Nhưng hoa hồng hi vọng sẽ tồn tại cho đến khi có người giải được bài toán này


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#3 henry0905

henry0905

    Trung úy

  • Thành viên
  • 892 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:THPT chuyên Trần Đại Nghĩa
  • Sở thích:Đi ngủ

Đã gửi 10-04-2013 - 21:35

Các đường tròn $(O_1)$ và $(O_2)$ cắt nhau tại $A$ và $B$, $CD$ là đường thẳng qua $O_1$ cắt $(O_1)$ tại $D$ và tiếp xúc với $(O_2)$ tại $C$, $AC$ tiếp xúc với $(O_1)$ tại $A$. Kẻ $AE$ vuông góc $CD$ và $AE$ cắt $(O_1)$ tại $E$. Kẻ $AF$ vuông góc $DE$ và $AF$ cắt $DE$ tại $F$. Chứng minh rằng $BD$ chia đôi $AF$

$CO_{2}$ cắt ($O_{2}$) tại M

Ta có: $\widehat{CAM}=90^{0}=\widehat{CAO_{1}}$

$\Rightarrow$ $M, A, O_{1}$ thẳng hàng

Xét $\triangle AFD$ và $\triangle MCO_{1}$ có:

$\widehat{DFA}=90^{0}=\widehat{MCO_{1}}$

$\widehat{FDA}=\widehat{CO_{1}M}$ (=$\frac{1}{2}$ sđ cung AE)

$\Rightarrow$ $\triangle AFD$ đồng dạng $\triangle MCO_{1}$

$\Rightarrow \frac{AF}{MC}=\frac{DA}{MO_{1}}$ (1)

Gọi K là giao điểm của AF và BD

Xét tam giác AKD và tam giác $MO_{2}O_{1}$

$\widehat{O_{2}MO_{1}}=\widehat{FAD}$ (do cặp tam giác đồng dạng trên)

$\widehat{O_{2}O_{1}M}=\widehat{KDA}$ $(=\frac{1}{2}$ sđ cung AB)

$\Rightarrow \triangle AKD\sim \triangle MO_{2}O_{1}$

$\Rightarrow \frac{AD}{MO_{1}}=\frac{KA}{MO_{2}}$ (2)

Mà $O_{2}$ là trung điểm CM (3)

Từ (1), (2) và (3) $\Rightarrow$ K là trung điểm AF (đpcm)

ScreenHunter_60 Apr. 10 22.25.jpg


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi henry0905: 10-04-2013 - 21:45


#4 PSW

PSW

    Những bài toán trong tuần

  • Thành viên
  • 488 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 24-05-2013 - 16:53

Chấm bài 

henry0905: 50 điểm


1) Thể lệ
2) Danh sách các bài toán đã qua: 1-100, 101-200, 201-300, 301-400
Còn chờ gì nữa mà không tham gia!  :luoi:
 


#5 malx

malx

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 42 Bài viết

Đã gửi 19-08-2013 - 16:24

Vì $AC$ là tiếp tuyến của $(O_{1}), E$ đối xứng với $A$ qua $OC$ nên $CE$ cũng là tiếp tuyến của $(O_{1}), EO_{1} $ cắt $(O_{1})$ tại điểm thứ hai $G, CE$ cắt $(O_{2})$ tại điểm thứ hai $K$. Dễ thấy $\angle EKA = \angle DCA = \angle GEK$ nên ba điểm $G, A, K$ thẳng hàng. Lại có $\angle GBA = \angle GEA = \angle CKA = 180^{\circ} - \angle CBA$ nên ba điểm $G, B, C$ thẳng hàng.

Quan sát tứ giác $GEBA$ nội tiếp trong $(O_{1})$, điểm $C$ là giao điểm của hai tiếp tuyến tại $E$ và $A$ nên $CG$ chính là đường đối trung của đỉnh $G$, tứ giác này là tứ giác điều hòa. Lưu ý là $AF\parallel  DG$, chùm điều hòa $D(GABE)$ cắt đường thẳng $AF$ tại $\infty, A, M, F$ với $M \equiv DB \cap AF$ nên $M$ là trung điểm của $AF$

 

 

Hình gửi kèm

  • Construction1.png





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh