Chủ đề này có 3 trả lời

[thanhdotk14]

Thấy dạo này các bạn thường hay post mấy bài áp dụng bất đẳng thức Cauchy-schawrz , thôi mình cũng góp chung một bài cho vui há
Cho $a,b,c$ là các số thực dương và $abc=1$ . Chứng minh rằng :
$\sum \frac{1}{a^3(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi thanhdotk14: 03-01-2013 - 20:03

[Sagittarius912]

Thấy dạo này các bạn thường hay post mấy bài áp dụng bất đẳng thức Cauchy-schawrz , thôi mình cũng góp chung một bài cho vui há
Cho $a,b,c$ là các số thực dương và $abc=1$ . Chứng minh rằng :
$\sum \frac{1}{a^3(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

thay $abc=1$ vào 2 lần đưa về dạng $\sum \frac{x^{2}}{y+z}\geq \frac{3}{2}$

[triethuynhmath]

Thấy dạo này các bạn thường hay post mấy bài áp dụng bất đẳng thức Cauchy-schawrz , thôi mình cũng góp chung một bài cho vui há
Cho $a,b,c$ là các số thực dương và $abc=1$ . Chứng minh rằng :
$\sum \frac{1}{a^3(b+c)}\geq \frac{3}{2}$

Ta có: $\sum \frac{1}{a^3(b+c)}=\sum \frac{\frac{1}{a^2}}{abc(\frac{1}{b}+\frac{1}{c})}=\sum \frac{\frac{1}{a^2}}{\frac{1}{b}+\frac{1}{c}}\geq \frac{(\sum \frac{1}{a})^2}{2\sum \frac{1}{a}}=\frac{\sum \frac{1}{a}}{2}\geq \frac{3}{2}(Q.E.D)$

[KietLW9]

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x,y,z>0 & \\ xyz=1 & \end{matrix}\right.$

Khi đó bất đẳng thức được viết lại thành: $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geqslant \frac{3}{2}$

Không mất tính tổng quát, giả sử $x\geqslant y\geqslant z\geqslant 0\Rightarrow \left\{\begin{matrix}x+y\geqslant z+x\geqslant y+z>0 & \\ \frac{x}{y+z}\geqslant \frac{y}{z+x}\geqslant \frac{z}{x+y}>0 & \end{matrix}\right.$

Sử dụng bất đẳng thức Chebyshev cho hai dãy đơn điệu cùng chiều và ngược chiều, ta được: $\frac{x^2}{y+z}+\frac{y^2}{z+x}+\frac{z^2}{x+y}\geqslant \frac{1}{3}(x+y+z)(\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})=\frac{1}{6}[(y+z)+(z+x)+(x+y)](\frac{x}{y+z}+\frac{y}{z+x}+\frac{z}{x+y})\geqslant \frac{1}{6}.3.[\frac{x}{y+z}.(y+z)+\frac{y}{z+x}.(z+x)+\frac{z}{x+y}.(x+y)]=\frac{x+y+z}{3}\geqslant \frac{3\sqrt[3]{abc}}{2}=\frac{3}{2}$

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$