11 replies to this topic

[Vani]

Cho $A^n=\begin{bmatrix} a11 & a12 &a13\\ a21&a22 &a23 \\ a31&a32 &a33 \end{bmatrix}$
Tính $lim (a_{ij})$ khi $n\rightarrow +\infty$ và i,j =1,2,3 . Biết ma trận A =$\begin{bmatrix} 1/2 & 1 &1 \\ 0&1/3 &1 \\ 0& 0 & 1/6 \end{bmatrix}$

Edited by phudinhgioihan, 04-01-2013 - 16:55.

[Vani]

Đề olympic 1998- câu 4 ( có xem đáp án rồi nhưng em vẫn thấy không ổn ) . Mấy anh xem có cách giải nào tối ưa không ? thanks so much

[vo van duc]

Theo đáp án thì đó là phương pháp chéo hoá ma trận.
_________________________________________

Bài này thì ý tưởng là tính $A^{n}$ rồi tính các giới hạn $\underset{n\rightarrow \propto }{lim} (a_{ij})$

Vậy ta chuyển về giải "Bài toán tìm $A^{n}$"

Bài toán này có nhiều cách giải. Nhưng trong trường hợp tương tự như thế này thì ta có một công cụ để giải quyết nó khá hiệu quả. Ý tưởng sau chỉ là nêu ý tưởng cho loại bài toàn này thôi. Đó chưa phải là lời giải tối ưu nhất trong bài cụ thể này.
__________________________________________

Ma trận A có đa thức đặc trưng là $p(x)=(x-\frac{1}{2})(x-\frac{1}{3})(x-\frac{1}{6})$

Lấy $x^{n}$ chia cho $p(x)$ ta được

$x^{n}=p(x).q(x)+ax^{2}+bx+c$ $(*)$

Thay $x=A$ vào $(*)$ ta có:

$A^{n}=a.A^{2}+b.A+c.I$ vì $p(A)=O$ $(1)$

Thay $x=\frac{1}{2}$ vào $(*)$ ta có:

$\frac{1}{2^{n}}=a.\frac{1}{4}+b.\frac{1}{2}+c$ $(2)$

Thay $x=\frac{1}{3}$ vào $(*)$ ta có:

$\frac{1}{3^{n}}=a.\frac{1}{9}+b.\frac{1}{3}+c$ $(3)$

Thay $x=\frac{1}{6}$ vào $(*)$ ta có:

$\frac{1}{6^{n}}=a.\frac{1}{36}+b.\frac{1}{6}+c$ $(4)$

Giải hệ phương trình $(2),(3),(4)$ ta tìm được $a, b, c$

Thay $a,b,c$ vào $(1)$ ta có $A^{n}$

................................................................
Các trị riêng không nguyên nên việc giải hệ phương trình $(2),(3),(4)$ không hẳn là đơn giản. Nhưng nếu trong trường hợp các trị riêng nguyên thì đây là công cụ đơn giản, dể sử dụng và nhanh chóng.

Edited by vo van duc, 06-01-2013 - 23:25.

[phudinhgioihan]

Thay $a,b,c$ vào $(1)$ ta có $A^{n}$

................................................................
Các trị riêng không nguyên nên việc giải hệ phương trình $(2),(3),(4)$ không hẳn là đơn giản. Nhưng nếu trong trường hợp các trị riêng nguyên thì đây là công cụ đơn giản, dể sử dụng và nhanh chóng.

Bài toán yêu cầu tính giới hạn, do đó không nhất thiết phải tính cụ thể $A^n$ ạ.

Như lời giải trên, ta tính được :

$$a=18(\dfrac{1}{2^n}-\dfrac{2}{3^n}+\dfrac{1}{6^n}) $$
$$b=-3(\dfrac{3}{2^n}-\dfrac{8}{3^n}+\dfrac{5}{6^n})$$
$$c=\dfrac{1}{2^n}-\dfrac{1}{3^{n-1}}+\dfrac{3}{6^n}$$

Vậy $a,b,c \to 0 $ khi $n \to +\infty $ , mà $A^n=aA^2+bA+cI $ nên $A^n \to O_n $

tức $\lim_{n \to +\infty} a_{ij}=0 \;\;, \forall i,j \in \{1,2,3\} $

Bài này năm 1 ĐH em có giải rồi mà lâu quá nên quên, không dùng đa thức đặc trưng cũng như chéo hóa. Để ráng giải lại xem sao @@

Edited by phudinhgioihan, 07-01-2013 - 00:06.

[vo van duc]

Ý tưởng là chìa khóa mở ra mọi cánh cửa!

[vo van duc]

Ta có thể thực hiện phép tách như sau

$A=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 1 & 1\\ 0 & \frac{1}{3} & 1\\ 0 & 0 & \frac{1}{6} \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} \frac{1}{2} & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{3} & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{6} \end{pmatrix}+\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}=B+D$

Ta có: $BD=DB$, $D^{2}=\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$ và $D^{3}=O$

Suy ra:

$A^{n}=\left ( B+D \right )^{n}$

$=\sum_{k=0}^{n}C_{n}^{k}B^{k}D^{n-k}$

$=B^{n}+nB^{n-1}D+\frac{n(n-1)}{2}.B^{n-2}D^{2}$

$=\begin{pmatrix} \frac{1}{2^{n}} & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{3^{n}} & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{6^{n}} \end{pmatrix}+n.\begin{pmatrix} \frac{1}{2^{n-1}} & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{3^{n-1}} & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{6^{n-1}} \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 0 & 1 & 1\\ 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

$+\frac{n(n-1)}{2}.\begin{pmatrix} \frac{1}{2^{n-2}} & 0 & 0\\ 0 & \frac{1}{3^{n-2}} & 0\\ 0 & 0 & \frac{1}{6^{n-2}} \end{pmatrix}.\begin{pmatrix} 0 & 0 & 1\\ 0 & 0 & 0\\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix}$

Suy ra $\underset{n\rightarrow +\propto }{lim}(a_{ij})=0$ với $i,j=1,2,3$


@phudinhgioihan: Đây cũng là lời giải đầu tiên của em , nhớ rồi ^^. Bận nghiên cứu bdt tích phân nên quên giải lại.

Edited by phudinhgioihan, 09-01-2013 - 12:35.

[1110004]

có cách này nhưng không chặt lý thuyết lắm
do A có giái trị riêng là ba giái trị trên đường chéo nên gtr của A bé hơn 1
(nếu A có gtr là a thì Aⁿ có grt là aⁿ) do đó khi n tiến đên vô cùng xem như các gtr của Aⁿ bằng 0. suy ra đa thức đặc trưng của Aⁿ là f(x)=x^m với m>>n
nên A^m=0 với m rất lớn.vậy khi n tiến đến vô cùng (m tiến nhanh hơn) thì Aⁿ=0.các bạn cho ý kiến nge!
mở rộng hơn thì "A có tất cả gtr bé hơn 1 thì Aⁿ =0 khi n tiến đến vô cùng

Edited by 1110004, 09-01-2013 - 23:17.

[phudinhgioihan]

có cách này nhưng không chặt lý thuyết lắm do A có giái trị riêng là ba giái trị trên đường chéo nên gtr của A bé hơn 1 (nếu A có gtr là a thì Aⁿ có grt là aⁿ) do đó khi n tiến đên vô cùng xem như các gtr của Aⁿ bằng 0. suy ra đa thức đặc trưng của Aⁿ là f(x)=x^m với m>>n nên A^m=0 với m rất lớn.vậy khi n tiến đến vô cùng (m tiến nhanh hơn) thì Aⁿ=0.các bạn cho ý kiến nge! mở rộng hơn thì "A có tất cả gtr bé hơn 1 thì Aⁿ =0 khi n tiến đến vô cùng

Mình hiểu ý tưởng của bạn, tuy nhiên cách lập luận như trên là sai. Cái sai cơ bản nhất là chỗ : "khi n tiến đên vô cùng xem như các gtr của Aⁿ bằng 0. suy ra đa thức đặc trưng của Aⁿ là f(x)=x^m với m>>n nên A^m=0 với m rất lớn" , các giá trị riêng của $A^n$ tiến dần về 0 chứ nó không bằng 0 nhé, và cũng không thể cho đa thức đặc trưng của $A^n$ là $x^m$ được ($x^3$ mới đúng ) , chỉ có thể là dãy các đa thức đặc trưng của $A^n$ hội tụ về $(-x)^n$.

Ý tưởng của bạn cũng trùng với lời giải thứ 4 của mình cho bài này. Hay nhỉ ^^ . Ta sẽ giải bài này bằng cách xấp xỉ.


Các giá trị riêng của $A$ là $\frac{1}{2}; \frac{1}{3}; \frac{1}{6} $, do đó các giá trị riêng của $A^n$ là $\frac{1}{2^n} \; \frac{1}{3^n};\frac{1}{6^n}$.

Gọi $p_n(x)$ là đa thức đặc trưng của $A^n$

khi $n$ tiến về vô cùng dương thì các giá trị riêng của $A^n$ hội tụ về 0, do đó, dãy $p_n(x)$ hội tụ về $-x^3$ , suy ra $p_n(A^n)$ hội tụ về $-A^{3n}$ , tức

$$\lim_{n \to +\infty} (p_n(A^n) +A^{3n})=0$$

$$\Leftrightarrow \lim_{n \to +\infty}A^{3n}=0$$

$$\Leftrightarrow \lim_{n \to +\infty} A^n=0$$

Như vậy lời giải này và lời giải ở trên kia đã CM rằng, nếu $A$ có các trị riêng thuộc $(-1;1)$ thì $\lim_{n \to +\infty} A^n=0$

Edited by phudinhgioihan, 10-01-2013 - 13:24.

[1110004]

cho em hỏi luôn " ma trận A phản đối xứng cấp chẳn chứng minh nó có các giá trị riêng là những số thuần " bài này mình đã làm gần 1,5 tháng rồi mà không được .em chuẩn bị thi vào đội tuyển của trường thấy lo quá mong anh chi giúp!

[vo van duc]

Em định nghĩa số "thuần" là gì nào?

[1110004]

em ghi nhầm là số thuần ảo

[okillneu]

mn ơi tìm a để limdiag(0,a^n,(3a)^n) n->vô cực tồn tại và khác 0?