Chủ đề này có 5 trả lời

[faraanh]

Tính $lim\frac{1^2+2^2+...+n^2}{5n^2+n+1}$

[25 minutes]

Ta có $1^2+2^2+...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\Rightarrow \frac{1^2+2^2+...+n^2}{5n^2+n+1}=\frac{n(n+1)(2n+1))}{30n^2+6n+6}= \frac{(1+\frac{1}{n})(2n+1)}{30+\frac{6}{n}+\frac{6}{n^2}}$
Từ đó $\lim_{x\rightarrow +\infty }=+\infty$ ?

[faraanh]

Ta có $1^2+2^2+...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$
$\Rightarrow \frac{1^2+2^2+...+n^2}{5n^2+n+1}=\frac{n(n+1)(2n+1))}{30n^2+6n+6}= \frac{(1+\frac{1}{n})(2n+1)}{30+\frac{6}{n}+\frac{6}{n^2}}$
Từ đó $\lim_{x\rightarrow +\infty }=+\infty$ ?

bạn có thể làm rõ từ đâu ta có cái này không $1^2+2^2+...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

[25 minutes]

Cái đấy có thể dùng quy nạp rồi chứng minh luôn ?

[dark templar]

bạn có thể làm rõ từ đâu ta có cái này không $1^2+2^2+...+n^2= \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}$

Ý bạn đó là từ đâu mà moi ra công thức
Cái này xuất phát từ dãy số $\{x_{n} \}_{n \ge 1}$ xác định bởi :

\[\left\{ \begin{array}{l}{x_1} = 1\\{x_{n + 1}} = {x_n} + {\left( {n + 1} \right)^2},\forall n \ge 1\end{array} \right.\]
Ta sẽ tìm cách đưa dãy này về dãy hằng bằng phép đặt ẩn $u_{n+1}=x_{n+1}+f(n+1)$.
Vấn đề là ta phải xác định dạng của hàm $f(n)$.Để ý rằng do trong công thức truy hồi của dãy $\{x_{n} \}$ có 1 đa thức bậc 2 là $(n+1)^2$ nên $f(n)$ phải có dạng của 1 đa thức bậc 3 $f(n)=an^3+bn^2+cn+d$
(Thực chất hằng số $d$ này ta không cần chọn )
Như vậy ta sẽ có 1 đồng nhất thức $f(n)-f(n+1)=(n+1)^2$,trong đó $f(n)$ là 1 đa thức bậc 3.
Bằng đồng nhất thức,ta tìm được $f(n)=\frac{-1}{3}n^3-\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{6}n$
Suy ra ta có phép đặt $u_{n}=x_{n}-\frac{1}{3}n^3-\frac{1}{2}n^2-\frac{1}{6}n$
Ta thu được 1 dãy số mới là $\{u_{n} \}_{n \ge 1}:\left\{ \begin{array}{l}{u_1} = 0\\{u_{n + 1}} = {u_n},\forall n \ge 1\end{array} \right.$
Do đó dãy $\{u_{n} \}$ là dãy hằng với $u_{n}=0$
Suy ra CTTQ của dãy $\{x_{n} \}$ là :
$$x_{n}=u_{n}-f(n)=\frac{1}{3}n^3+\frac{1}{2}n^2+\frac{1}{6}n=\frac{n(2n+1)(n+1)}{6}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 05-01-2013 - 19:01

[faraanh]

Có ai còn cách giải thích dễ hiểu hơn không???