Đến nội dung

Hình ảnh

Chứng minh rằng: $$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 4 trả lời

#1
Forgive Yourself

Forgive Yourself

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 473 Bài viết

Cho $a,b,c$ dương và $abc=1$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi KietLW9: 13-05-2021 - 16:21


#2
25 minutes

25 minutes

    Thành viên nổi bật 2015

  • Hiệp sỹ
  • 2795 Bài viết
Đặt $(a,b,c)\rightarrow (\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$
$\Rightarrow xyz=1$
BĐt đã cho được viết lại thành $x^2+y^2+z^2+3\geq 2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y}+\frac{1}{z})$ với $xyz=1$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\geq 2(xy+yz+xz)$
Nhưng trên là 1 bđt vô cùng cơ bản
$\Rightarrow$ đpcm
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=1$ ?

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Tran Hoang Anh Arsenal: 05-01-2013 - 13:50

Hãy theo đuổi đam mê, thành công sẽ theo đuổi bạn.



Thảo luận BĐT ôn thi Đại học tại đây


#3
Forgive Yourself

Forgive Yourself

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 473 Bài viết

Đặt $(x,y,z)\rightarrow (\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$
$\Rightarrow xyz=1$
BĐt đã cho được viết lại thành $x^2+y^2+z^2+3\geq 2(\frac{1}{x},\frac{1}{y},\frac{1}{z})$ với $xyz=1$
$\Leftrightarrow x^2+y^2+z^2+2xyz+1\geq 2(xy+yz+xz)$
Nhưng trên là 1 bđt vô cùng cơ bản
$\Rightarrow$ đpcm
Dấu = xảy ra khi $x=y=z=1\Leftrightarrow a=b=c=1$ ?

Bạn chứng minh bất đẳng thức bạn gọi là cơ bản dùm mình được không?

#4
triethuynhmath

triethuynhmath

    Thượng úy

  • Thành viên
  • 1090 Bài viết

Bạn chứng minh bất đẳng thức bạn gọi là cơ bản dùm mình được không?

Được rồi bạn, đoạn này mình giúp cho:
Theo nguyên lí Đirichlet thì trong 3 số $a,b,c$ luôn đó 2 số đồng thời không lớn hơn $1$ hoặc đồng thời không nhỏ hơn $1$. Giả sử 2 số đó là $a,b$. Ta có: $(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow c(a-1)(b-1)\geq 0\Rightarrow abc\geq ac+bc-c\Rightarrow 2abc\geq 2(ac+bc)-2c\Rightarrow a^2+b^2+c^2+2abc+1\geq 2(ab+bc+ca)+(a-b)^2+(c-1)^2\geq 2(ab+bc+ca)$ Xong rồi đó bạn :D (Đổi $a,b,c$ thành $x,y,z$ nhé :D. Mình nhầm :P)

TRIETHUYNHMATH

___________________________

08/12/1997


#5
KietLW9

KietLW9

    Đại úy

  • Điều hành viên THCS
  • 1737 Bài viết

Cho $a,b,c$ dương và $abc=1$. Chứng minh rằng:
$$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+3\geq 2(a+b+c)$$

Lời giải. Vì $abc=1$ nên ta cần chứng minh:

$\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}+\frac{1}{c^2}+\frac{3}{abc}\geq 2(\frac{1}{ab}+\frac{1}{bc}+\frac{1}{ca})$

Đặt $(\frac{1}{a},\frac{1}{b},\frac{1}{c})\rightarrow (x,y,z)$ thì $x,y,z>0;xyz=1$ và ta cần chứng minh:

$x^2+y^2+z^2+3xyz\geqslant 2(xy+yz+zx)$

Theo nguyên lí Dirichlet thì trong 3 số $x-1;y-1;z-1$ tồn tại ít nhất 2 số cùng dấu, giả sử là $x-1$ và $y-1$ thì $(x-1)(y-1)\geqslant 0\Leftrightarrow 3xyz\geqslant 3zx+3yz-3z$

Ta cần chứng minh: 

$x^2+y^2+z^2+3zx+3yz-3z\geqslant 2(xy+yz+zx)$

$\Leftrightarrow (x-y)^2+z(x+y+z-3)\geqslant 0$

Bất đẳng thức cuối luôn đúng nên ta có điều phải chứng minh

Đẳng thức xảy ra khi $a=b=c=1$


Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức  :ukliam2:   :ukliam2: 

 

 

$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$

 

 

 





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh