Chủ đề này có 3 trả lời

[trannangdaiphu]

Chứng minh rằng nếu |z| = |w| thì số $\frac{z+w}{1+zw}$ là số thực (giả sử 1 + zw khác 0)

[robin997]

Chứng minh rằng nếu |z| = |w| thì số $\frac{z+w}{1+zw}$ là số thực (giả sử 1 + zw khác 0)

..Cái này là số phức hả e

Spoiler

Hình như là đề sai thì phải

- Lấy $|z|=|w|=u$ ( $u\in R, u\geq 0$ ) :
$z=u.e^{ia}$, $w=u.e^{ib}$
-Thì:
$v=\frac{z+w}{1+zw}=u\frac{e^{ia} +e^{ib}}{1+u^2e^{ia}e^{ib}}$
$\Rightarrow \bar{v}=u\frac{e^{-ia} +e^{-ib}}{1+u^2e^{-ia}e^{-ib}}=u\frac{e^{ia} +e^{ib}}{e^{ia}e^{ib}+u^2}$
- $v=\bar{v} \forall u\Leftrightarrow 1+u^2e^{ia}e^{ib}= e^{ia}e^{ib}+u^2\forall u \Rightarrow e^{ia}e^{ib}=1$
-Tóm lại, $\frac{z+w}{1+zw}$ không luôn thực

[trannangdaiphu]

..Cái này là số phức hả e

Spoiler

Hình như là đề sai thì phải

- Lấy $|z|=|w|=u$ ( $u\in R, u\geq 0$ ) :
$z=u.e^{ia}$, $w=u.e^{ib}$
-Thì:
$v=\frac{z+w}{1+zw}=u\frac{e^{ia} +e^{ib}}{1+u^2e^{ia}e^{ib}}$
$\Rightarrow \bar{v}=u\frac{e^{-ia} +e^{-ib}}{1+u^2e^{-ia}e^{-ib}}=u\frac{e^{ia} +e^{ib}}{e^{ia}e^{ib}+u^2}$
- $v=\bar{v} \forall u\Leftrightarrow 1+u^2e^{ia}e^{ib}= e^{ia}e^{ib}+u^2\forall u \Rightarrow e^{ia}e^{ib}=1$
-Tóm lại, $\frac{z+w}{1+zw}$ không luôn thực

ủa, vậy s ông thầy biểu chứng minh thực z trời ? cảm ơn anh nha

[Nxb]

Chứng minh rằng nếu |z| = |w| thì số $\frac{z+w}{1+zw}$ là số thực (giả sử 1 + zw khác 0)

Đặt $|z|=|w|=k; s=\frac{z+w}{1+zw}$, ta có:
$$\overline{s}=\overline{\frac{z+w}{1+zw}}=\frac{{\frac{k^2}{w}}+\frac{k^2}{z}}{1+\frac{k^4}{zw}}=\frac{k^2(w+z)}{zw+k^4}$$
Nếu $k=1$ thì ta có $s=\overline{s}$, do đó $s$ là số thực. Như vậy giả thiết thiếu $k=1$