Chủ đề này có 2 trả lời

[duaconcuachua98]

Chứng minh rằng $-\frac{1}{2}\leq \frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^{2})(1+b^{2})}\leq \frac{1}{2}$ $\forall a,b$

[donghaidhtt]

Chứng minh rằng $-\frac{1}{2}\leq \frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^{2})(1+b^{2})}\leq \frac{1}{2}(1)$ $\forall a,b$

Cách 1:
Nhận xét: $(a+b)^2+(1-ab)^2=a^2+b^2+1+a^2b^2=(1+a^2)(1+b^2)$
Do đó: $|xy |\leq \frac{y^2+x^2}{2}$ với $x=a+b,y=1-ab$
Cách 2:
Đặt $a=\tan \alpha , b=\tan \beta$,Với $\alpha,\beta \in (\dfrac{-\pi}{2};\dfrac{\pi}{2})$
$(1)\Leftrightarrow \dfrac{-1}{2}\leq \dfrac{(\tan\alpha+\tan\beta)(1-\tan\alpha.\tan\beta)}{(1+\tan^2\alpha)(1+\tan^2\beta)}\leq\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow \dfrac{-1}{2}\leq \dfrac{\sin(\alpha+\beta).\cos^2\alpha.\cos^2\beta}{\cos \alpha.\cos\beta}.\dfrac{\cos(\alpha+\beta)}{\cos\alpha.\cos\beta}\leq\dfrac{1}{2}$
$\Leftrightarrow-1\leq2\sin(\alpha+\beta).\cos(\alpha+\beta)\leq1$
$\Leftrightarrow-1\leq \sin(2(\alpha+\beta))\leq1$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi donghaidhtt: 07-01-2013 - 17:54

[KietLW9]

Chứng minh rằng $-\frac{1}{2}\leq \frac{(a+b)(1-ab)}{(1+a^{2})(1+b^{2})}\leq \frac{1}{2}$ $\forall a,b$

Lời giải. Ta có: 

$\frac{1}{4}-\frac{(a+b)^2(1-ab)^2}{(1+a^2)^2(1+b^2)^2}=\frac{(ab-a-b-1)^2(ab+a+b-1)^2}{4(1+a^2)^2(1+b^2)^2}\geqslant 0$