Đến nội dung

Hình ảnh

Cho a,b,c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$ CM $abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)\geq 0$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 5 trả lời

#1
tieuthumeo99

tieuthumeo99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết
Cho a,b,c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$
CM $abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)\geq 0$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieuthumeo99: 10-01-2013 - 16:38

Stay hungry stay foolish


#2
Oral1020

Oral1020

    Thịnh To Tướng

  • Thành viên
  • 1225 Bài viết
Cái này thì mình chỉ biết có cái $2(1+a+b+c+ab+bc+ac)$ à:
$2(1+a+b+c+ab+bc+ac)$
$=2(a^2+b^2+c^2+ab+bc+ac)$
$=(a^2+b^2+c^2+2ab+2bc+2ac)+2(a+b+c) +1$
$=(a+b+c)^2+2(a+b+c)+1$
$=(a+b+c+1)^2 \ge 0$

"If I feel unhappy,I do mathematics to become happy.


If I feel happy,I do mathematics to keep happy."

Alfréd Rényi

Hình đã gửi


#3
tieuthumeo99

tieuthumeo99

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 150 Bài viết
Do $a^2+b^2+c^2=1$ nên $a^2\leq 1$ ,$b^2\leq 1$ ,$c^2\leq 1$
=>$a\geq -1,b\geq -1,c\geq -1$
=>$(1+a)(1+b)(1+c)\geq 0$
=>$1+a+b+c+ab+bc+ca+abc\geq 0$
Cần chứng minh $1+a+b+c+bc+ac+ab\geq 0$
Ta có $1+a+b+c+ab+bc+ca\geq 0$
<=>$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+a+b+c\geq 0$
<=>$2a^2+2b^2+2c^2+2(a+b+c)+2ab+2bc+2ca+abc\geq 0$
<=>$(a+b+c)^2+2(a+b+c)+1\geq 0$
<=>$(a+b+c+1)^2\geq 0$ (luôn đúng)
=>ĐPCM

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tieuthumeo99: 10-01-2013 - 17:03

Stay hungry stay foolish


#4
dqxmath

dqxmath

    Lính mới

  • Thành viên
  • 4 Bài viết

Như vậy biểu thức 2(1 + a + b + c + ab + bc + ca ) có thể thay bằng m(1 + a + b + c + ab + bc + ca ) cũng được



#5
toancqt115

toancqt115

    Lính mới

  • Thành viên mới
  • 8 Bài viết

Do $a^2+b^2+c^2=1$ nên $a^2\leq 1$ ,$b^2\leq 1$ ,$c^2\leq 1$
=>$a\geq -1,b\geq -1,c\geq -1$
=>$(1+a)(1+b)(1+c)\geq 0$
=>$1+a+b+c+ab+bc+ca+abc\geq 0$
Cần chứng minh $1+a+b+c+bc+ac+ab\geq 0$
Ta có $1+a+b+c+ab+bc+ca\geq 0$
<=>$a^2+b^2+c^2+ab+bc+ca+a+b+c\geq 0$
<=>$2a^2+2b^2+2c^2+2(a+b+c)+2ab+2bc+2ca+abc\geq 0$ (1)
<=>$(a+b+c)^2+2(a+b+c)+1\geq 0$
<=>$(a+b+c+1)^2\geq 0$ (luôn đúng)
=>ĐPCM

(1) bn ghi thừa abc thì phải



#6
linhk2

linhk2

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 86 Bài viết

Cho a,b,c thỏa mãn $a^2+b^2+c^2=1$
CM $abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)\geq 0$

* TH1: abc$\geq$0

Ta có: abc+2(1+a+b+c+ab+bc+ca)=abc+2+2(a+b+c)+$(a+b+c)^{2}-a^{2}-b^{2}-c^{2}$=abc+$(a+b+c+1)^{2}\geq 0$

* TH2: abc$< 0$

Ta có: abc+2(a+b+c+ab+bc+ca+1)=2(a+1)(b+1)(c+1)-abc$\geq 0$






1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh