Cho ma trận vuông A cấp n có dạng
$A=\begin{bmatrix} a & 1 & 0 & ... & 0 & 0\\ 0 & a & 1 & ... & 0 & 0\\ 0 & 0 & a & ... & 0 & 0\\ ... & ... & ... & ... & ... & ...\\ 0 & 0 & 0 & ... & a & 1\\ 0 & 0 & 0 & ... & 0 & a \end{bmatrix}$
Và $A^{n}=\left ( a_{ij} \right )_{n}$
Tính $\sum_{j=1}^{n}a_{1j}$
$ {{A}^{n}}={{(aI+B)}^{n}}=\sum\limits_{k=0}^{n}C_{n}^{k}a^{k}{B}^{(n-k)} $
Với
$ B=\left[ \begin{matrix}
0 & 1 & {} & {} & 0 \\
0 & 0 & 1 & {} & {} \\
{} & {} & {} & {} & {} \\
{} & {} & {} & {} & 1 \\
0 & {} & {} & {} & 0 \\
\end{matrix} \right] $
Sau đó khai triển ra nhận thấy B^n=0,
Cứ mỗi lần mũ B lên thì dãy 1 trên đường chéo nhảy lên 1 nấc.(CM bằng quy nạp)
Vậy $\sum_{j=1}^{n}a_{1j}=\sum\limits_{k=1}^{n}{C_{n}^{k}{{a}^{k}}}=(a+1)^n-1$
Edited by phudinhgioihan, 02-02-2013 - 15:00.
