Chủ đề này có 2 trả lời

[vo van duc]

Cho $A,B\in M_{n}(\mathbb{R})$ thỏa mãn: A không suy biến, $A^{3}+B+A=BA+A^{2}$ và $\exists r\in \mathbb{N}^{*}$ sao cho $B^{r}=O$

Chứng minh rằng $\det (A+B^{2012})\neq 0$

[1110004]

Hihi!! lâu quá em không lên diễn đàn diễn đàn vui quá hihi!!

Bài của anh em chưa dám giải vì em thấy có 2 thắc mắc

1) với cái giả thiết $A$ không suy biến và $B^r=0$ tức $B$ lũy linh dễ dàng suy ra đpcm (vì nó bằng $det(A)$) vậy giả thiết còn lại để làm gì vậy anh em không hiểu lắm

2) giả thiết $A^3+B+A=BA+A^2$ và $A$ không suy biến hình như là ngược nhau vì

 

$A^3+B+A=BA+A^2 \Leftrightarrow A^3+A-A^2=BA-B$ lấy det 2 vế cho ta vế trái khác $0$ vế phải bằng $0$

cuối cùng em không biết giải sao hết hi!

[Hoang Viet 1]

Theo bất đẳng thức Sylvester: 

$r(A)+r(B^{2012})-n\leqslant r(A.B^{2012})$

$\Leftrightarrow r(B^{2012})\leqslant r(A.B^{2012})$

Mà từ giả thiết ta có:

$det(B)= 0\Leftrightarrow det(B^{2012})=0\Leftrightarrow det(A.B^{2012})=0\Rightarrow r(A.B^{2012})\leqslant n-1$

$\Rightarrow 0\leqslant r(B^{2012})\leq n-1$

Nếu $1\leq r(B^{2012})\leq n-1\$ (KTM)

$\Rightarrow r(B^{2012})=0\Leftrightarrow B^{2012}=0\Rightarrow det(A+B^{2012})=det(A)\neq 0$

Mong mọi người cho nhận xét!

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Hoang Viet 1: 04-04-2023 - 00:20