Chủ đề này có 1 trả lời

[vo van duc]

Chứng minh rằng: Nếu A là ma trận vuông có $rank(A)\leq 1$ thì $A^{2}=Tr(A).A$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 10-01-2013 - 21:38

[studentized]

$A$ là ma trận vuông cấp $n$ với $\mathrm{rank}(A)\le1$ thì có tồn tại 2 vectơ $n$ chiều $\mathbf v$ và $\mathbf w$ sao cho $A=\mathbf{vw}^\top$ (dễ dàng thấy rằng nếu $\mathrm{rank}(A)=1$, thì $A$ chỉ có 1 dòng độc lập tuyến tính -- tức là mỗi dòng $i$ chỉ là tích của số $v_i$ với vectơ hàng $\mathbf w^\top$ -- và từ đó $\mathbf v,\mathbf w\ne\mathbf0$; nếu $\mathrm{rank}(A)=0$ thì $A=O_n$ và từ đó $\mathbf v$ hoặc $\mathbf w$ bằng $\mathbf 0$).

 

Ta thấy $\mathrm{tr}(A)=\mathrm{tr}(\mathbf{vw}^\top)=\mathrm{tr}(\mathbf w^\top\mathbf v)=\mathbf w^\top\mathbf v=w_1v_1+w_2v_2+\dots+w_nv_n$.

 

Vậy $A^2=\mathbf{vw}^\top\mathbf{vw}^\top=\mathbf v\mathrm{tr}(A)\mathbf w^\top=\mathrm{tr}(A)\mathbf{vw}^\top=\mathrm{tr}(A)\cdot A$.