Chủ đề này có 2 trả lời

[faraanh]

tìm $lim\frac{n^k}{a^n}$ với a>1 và k nguyên dương

[funcalys]

Ta có: $n\to \infty => \left \{ \frac{n^{k}}{(1+p)^n}:k\in \mathbb{R},p>0 \right \}\to 0$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi bbvipbb: 11-01-2013 - 10:30

[dark templar]

tìm $lim\frac{n^k}{a^n}$ với a>1 và k nguyên dương

Bài này cũng khá hay đó

Spoiler

Nhưng chỉ là tính chất cơ bản của Toán cao cấp.

Đặt $b=a-1>0$,suy ra:
$$a^{n}=(1+b)^{n}=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}b^{j}>\binom{n}{j}b^{j}=\frac{(n-j+1)(n-k+2)...n}{j!}b^{j}>\frac{(n-j+1)^{n-j}}{j!}b^{j}$$
Ta luôn có thể chọn $j \in \mathbb{N^*}$ sao cho $n-j>k+1$.
Vậy :
$$\frac{n^{k}}{a^{n}}<\frac{n^{k}.j!}{(n-j+1)^{k+1}b^{j}}=\frac{j!}{b^{j}(n-j+1)\left(1-\frac{j-1}{n} \right)^{k}}$$
Mặt khác do $\lim_{n \to \infty}\left(1-\frac{j-1}{n} \right)^{k}=1$
Nên $\lim_{n \to infty}\frac{j!}{b^{j}(n-j+1)\left(1-\frac{j-1}{n} \right)^{k}}=0$.
Suy ra $\lim_{n \to \infty}\frac{n^{k}}{a^{n}}=0$.