Đến nội dung

Hình ảnh

[MHS2013] - Trận 17 Phương trình - BPT mũ hoặc logarit


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 8 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 20h, Thứ Bảy, ngày 12/01/2013, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:
1) Trận 17

2) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

3) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ không được tự ý sửa bài của mình vì nếu sửa sẽ bị chấm là 0 điểm.

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Đề thi của tran hoai nghia
Giải phương trình:
$$2^x (1 - \sqrt x )\log _3^2 (2 + \sqrt x ) - (2^{x + 1} + \sqrt x - 1)\log _3 (2 + \sqrt x ) - 2 = 0$$

Thời gian thi đấu tính từ 20h30 ngày 13/01 đến 0h30 ngày 16/01

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3
Gioi han

Gioi han

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 384 Bài viết

Đề thi của tran hoai nghia
Giải phương trình:
$$2^x (1 - \sqrt x )\log _3^2 (2 + \sqrt x ) - (2^{x + 1} + \sqrt x - 1)\log _3 (2 + \sqrt x ) - 2 = 0$$

Thời gian thi đấu tính từ 20h30 ngày 13/01 đến 0h30 ngày 16/01


ĐK :$x \geq 0$
$$2^x (1 - \sqrt x )\log _3^2 (2 + \sqrt x ) - (2^{x + 1} + \sqrt x - 1)\log _3 (2 + \sqrt x ) - 2 = 0$$
$\Leftrightarrow 2^x \log _3 (2 + \sqrt x ).(1-\sqrt x)\log_3(2+\sqrt x)- 2 .2^x \log_3(2+\sqrt x)+ (1-\sqrt x)(\log _3 (2+\sqrt x)-2 =0$
Đặt $\left\{\begin{matrix} u=2^x \log (2+\sqrt x) & & \\ v=(1-\sqrt x).\log_3 (2+\sqrt x) & & \end{matrix}\right.$
Ta được phương trình:
$uv -2u +v-2=0$
$\Leftrightarrow \left[\begin{array} u=-1 \\\ v=-2 \, \end{array}\right.$ (nhầm dấu)
Với $u=-1$ ta có :
$2^x \log_3(2+\sqrt x)=-1$
$\Leftrightarrow \log_3(x+\sqrt x)=-2 ^{-x}(1)$
Vẽ đồ thị của 2 hàm số trên ta thấy (1) vô nghiệm.
1.jpg
Với $v=2$ ta có :
$(1-\sqrt x)(\log_3 (2+\sqrt x)=2$
$\Leftrightarrow \log_3(2+\sqrt x)=\frac{2}{1-\sqrt x}(2)$
Vẽ đồ thị của 2 hàm số trên ta thấy (2) vô nghiệm.
333.png
Vậy phương trình đã cho vô nghiệm.

Ngoài nhầm dấu đáng tiếc ra, em nghĩ xem nếu đi thi ĐH, em có giải phương trình bằng cách vẽ đồ thị được không?
Điểm bài: 9
S = 25 + 9*3 = 52

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-01-2013 - 15:19
Chấm điểm


#4
hoangkkk

hoangkkk

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 83 Bài viết

Đề thi của tran hoai nghia
Giải phương trình:
$$2^x (1 - \sqrt x )\log _3^2 (2 + \sqrt x ) - (2^{x + 1} + \sqrt x - 1)\log _3 (2 + \sqrt x ) - 2 = 0$$

Giải :

ĐKXĐ : $x \geq 0$
Phương trình đã cho tương đương với :
$$2^x\left ( 1-\sqrt{x} \right )\log_{3}^2\left ( 2+\sqrt{x} \right )+\left ( 1-\sqrt{x} \right )\log_{3}\left ( 2+\sqrt{x} \right )-2^{x+1}\log_{3}\left ( 2+\sqrt{x} \right )-2=0$$
$$\Leftrightarrow \left ( 1-\sqrt{x} \right )\log_{3}\left ( 2+\sqrt{x} \right )\left ( 2^x\log_{3}\left ( 2+\sqrt{x} \right )+1 \right )-2\left ( 2^x\log_{3}\left ( 2+\sqrt{x} \right )+1 \right )=0$$
$$\Leftrightarrow \left [\left ( 1-\sqrt{x} \right )\log_{3}\left ( 2+\sqrt{x} \right )-2 \right ].\left [ 2^x\log_{3}\left ( 2+\sqrt{x} \right )+1 \right ]=0$$
$\Leftrightarrow \left ( 1-\sqrt{x} \right )\log_{3}\left ( 2+\sqrt{x} \right )-2=0$ $\left ( 1 \right )$ hoặc $2^x\log_{3}\left ( 2+\sqrt{x} \right )+1=0$ $\left ( 2 \right )$

Giải $\left ( 1 \right )$ :
$$\left ( 1 \right )\Leftrightarrow \left ( 1-\sqrt{x} \right )\log_{3}\left ( 2+\sqrt{x} \right )=2$$
Từ trên dễ thấy rằng $x \in \left [ 0;1 \right )$,tuy nhiên trong nửa khoảng này thì $\left ( 1-\sqrt{x} \right )< 1$ và $\log_{3}\left ( 2+\sqrt{x} \right )< \log_{3}\left ( 2+1 \right )=1$ nên $ \left ( 1-\sqrt{x} \right )\log_{3}\left ( 2+\sqrt{x} \right )<2$ $\Rightarrow \left ( 1 \right )$ vô nghiệm.

Giải $\left ( 2 \right )$ : Do $x \geq 0$ nên ta suy ra $2^x\log_{3}\left( 2+\sqrt{x} \right)+1 \geq 1$, do vậy $\left ( 2 \right )$ vô nghiệm.

Kết luận : Phương trình đã cho vô nghiệm trên $\mathbb{R}$


Lời gải khá gọn.
Điểm bài 10
S = 24 + 3*10 = 54

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-01-2013 - 15:28
Chấm bài

A2K40-er

My Blog : http://a2k40pbc.blogspot.com/


#5
minh29995

minh29995

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 377 Bài viết
ĐK: $x\geq 0$
Ta có $-(2^{x+1}+\sqrt{x}-1).log_3(2+\sqrt{x})<0$ với mọi $x>0$ do $2^{x+1}+\sqrt{x}-1\geq1$ và $log_3(\sqrt{x}+2)>0$
Ta chứng minh $2^x(1-\sqrt{x}) log_3^2(2+\sqrt{x})-2 <0$ (1) với mọi x>0
Thật vậy
TH1: Xét $x\in [0;1)$
Ta có $2^x<2, 0<(1-\sqrt{x}) <1, log_3^2 (2+\sqrt{x})<1$
Em đã thiếu: Rõ ràng là với $x=0$ thì $VT(1) = 0$
Do đó $2^x(1-\sqrt{x}) log_3^2(2+\sqrt{x})<2$ suy ra (1) đúng.
TH2: $x\geq 1$
Khi đó ta luôn có $2^x(1-\sqrt{x}) log_3^2(2+\sqrt{x}) \geq 0$
Do đó (1) đúng

Vì vậy PT đã cho có $VT<VP$

PT đã cho vô nghiệm!


Điểm bài:9
S = 15+ 3*9 = 42

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-01-2013 - 15:33
Chấm bài

${\color{DarkRed} \bigstar\bigstar \bigstar \bigstar }$ Trần Văn Chém

#6
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết

Đề thi của tran hoai nghia
Giải phương trình:
$$2^x (1 - \sqrt x )\log _3^2 (2 + \sqrt x ) - (2^{x + 1} + \sqrt x - 1)\log _3 (2 + \sqrt x ) - 2 = 0$$

Thời gian thi đấu tính từ 20h30 ngày 13/01 đến 0h30 ngày 16/01

*Điều kiện: $x\geq 0$
*Đặt $2^x=a;$ $\sqrt{x}-1=b;$ $log_3(2+\sqrt{x})=c$ (1) (với $a>0;c>0$)
$\Rightarrow ac>0\Rightarrow ac+1>0$
Khi đó phương trình đã cho trở thành: $a.(-b).c^2-(2.a+b).c-2=0\Leftrightarrow (ac+1)(bc+2)=0$ $\Leftrightarrow bc=-2$ $\Leftrightarrow b=-\frac{2}{c}$ (2)
*Mặt khác, từ (1) ta có $\left\{\begin{matrix}3^c=2+\sqrt{x} & & \\ b=\sqrt{x}-1 & & \end{matrix}\right.$ $\Rightarrow 3^c-b=3$ (3)
Thay (3) vào (2) ta được: $3^c+\frac{2}{c}=3$. (*)
*Ta chứng minh với mọi $c> 0$ ta luôn có $3^c> c+1$ (**)
Xét hàm số: $f($c$)=3^c-c-1$ có $f'($c$)=3^c.ln3-1 >0 ,\forall c>0$
$\Rightarrow f($c$)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$. Mà $f($c$)=3^c-c-1>3^0-0-1=0\Leftrightarrow f($c$)>0,\forall c>0$ nên (**) đúng
*Từ đó ta được: $3^c+\frac{2}{c}> c+1+\frac{2}{c}\geq 1+2\sqrt{2}>3$ (Bất đẳng thức Cauchy)
Hay $VT_{(*)}>VP_{(*)}$ nên (*) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S=\varnothing$



Cách làm khác độc đáo
Điểm: 10

S = 14 + 10*3 + 3 = 47

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-01-2013 - 15:47
Chấm điểm


#7
hoangtrong2305

hoangtrong2305

    Trảm phong minh chủ

  • Phó Quản lý Toán Ứng dụ
  • 861 Bài viết

Giải phương trình:
$$2^x (1 - \sqrt x )\log _3^2 (2 + \sqrt x ) - (2^{x + 1} + \sqrt x - 1)\log _3 (2 + \sqrt x ) - 2 = 0$$


$2^x (1 - \sqrt x )\log _3^2 (2 + \sqrt x ) - (2^{x + 1} + \sqrt x - 1)\log _3 (2 + \sqrt x ) - 2 = 0$

Điều kiện: $x\geq 0$

$2^x (1 - \sqrt x )\log _3^2 (2 + \sqrt x ) - (2^{x + 1} + \sqrt x - 1)\log _3 (2 + \sqrt x ) - 2 = 0$

Đặt $t=\log_{3}(2+\sqrt{x});t\geq \log_{3}2$

$\Rightarrow 3^{t}-2=\sqrt{x}$

Phương trình thành:

$2^{x}(3^{t}-3)t^{2}+(2.2^{x}+3^{t}-3)t+2=0$

Đặt $u=3^{t}-3$, phương trình thành:

$2^{x}ut^{2}+(2.2^{x}+u)t+2=0$

Dễ thấy rằng nếu $u\geq 0$ thì $VT>0$, dẫn đến phương trình vô nghiệm, vì vậy để phương trình có nghiệm thì $3^{t}\leq 3$

$\Rightarrow \log_{3}2\leq t\leq 1$

$\Leftrightarrow -1\leq 3^{t}-3\leq 0$

$\Leftrightarrow -1\leq u\leq 0$

$\Leftrightarrow u \in [-1;0]$

Thay vào phương trình thành:

$(2^{x}u)t^{2}+(2.2^{x}+u)t+2=0$

Coi đây là phương trình bậc $2$ theo ẩn $t$, tham số $x;u$, để phương trình có nghiệm thì:

$\Delta \geq 0\Leftrightarrow (2.2^{x}+u)^{2}-8.2^{x}.u\geq 0$

$\Leftrightarrow (2.2^{x}-u)^{2}\geq 0$ (đúng)

Vậy phương trình có hai nghiêm là:

$\begin{bmatrix} t=-2^{1-x}<0(false)\\ t=-\frac{4}{u} \end{bmatrix}$

Vậy $t=-\frac{4}{u}; u \in [-1;0)$

Vậy ta có phương trình:

$\log_{3}(2+\sqrt{x})=\frac{4}{1-\sqrt{x}}$

Điều kiện: $0\leq x<1$

Xét hàm số $f(x)=\log_{3}(2+\sqrt{x})$ trên $[0;1]$

$\Rightarrow f'(x)=\frac{1}{2\sqrt{x}(2+\sqrt{x})\ln3}>0;\forall x \in [0;1]$

Vậy $f(x)$ là hàm đồng biến trên $[0;1]$

$\Leftrightarrow f(x) \in [\log_{3}2;1]$

Xét hàm số $g(x)=\frac{4}{1-\sqrt{x}}$ trên $[0;1)$

$\Rightarrow g'(x)=\frac{2x}{\sqrt{x}(1-\sqrt{x})^{2}}>0;\forall x \in [0;1)$

$\lim_{x\rightarrow 1^{-}}g(x)=+\infty$

Vậy $g(x) \in[4;+\infty )$

Nhận xét: ta có giá trị lớn nhất của $f(x)=1$, còn giá trị nhỏ nhất của $g(x)=4$, từ đó cho thấy phương trình $\log_{3}(2+\sqrt{x})=\frac{4}{1-\sqrt{x}}$ vô nghiệm

KẾT LUẬN: Phương trình $2^x (1 - \sqrt x )\log _3^2 (2 + \sqrt x ) - (2^{x + 1} + \sqrt x - 1)\log _3 (2 + \sqrt x ) - 2 = 0$ vô nghiệm


Em chú ý cách trình bày chỗ màu đỏ nhé.
Cách làm hơi dài

Điểm 10
S = 13 + 10*3 = 43

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-01-2013 - 15:46
Chấm bài

Toán học là ông vua của mọi ngành khoa học.

Albert Einstein

(1879-1955)

Hình đã gửi


-------------------------------------------------------------------------------------------------------------------


Click xem Đạo hàm, Tích phân ứng dụng được gì?

và khám phá những ứng dụng trong cuộc sống


#8
Primary

Primary

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 316 Bài viết
Mở rộng: Giải phương trình $n^x(1-\sqrt{x}).log_{n+1}^n(n+\sqrt{x})-(n^{x+1}+\sqrt{x}-1).log_{n+1}^{n-1}(n+\sqrt{x})-n=0,\forall n\geq 2$ (*)
Lời giải:
Điều kiện: $x\geq 0$
Đặt $n^x=a;\sqrt{x}-1=b;log_{n+1}^{n-1}(n+\sqrt{x})=c$ với $a;c>0$
$\Rightarrow$ $ac^{n-1}+1>0,\forall$ số tự nhiên $n\geq 2;$ $(n+1)^c-b=n+1$ (1)
Khi đó $(*)\Leftrightarrow -abc^n-(n.a+b).c^{n-1}-n=0\Leftrightarrow (bc+n)(ac^{n-1}+1)=0$ $\Leftrightarrow$
$b=\frac{-n}{c}$ (2)
Thay (2) vào (1): $(n+1)^c+\frac{n}{c}=n+1$ $\Leftrightarrow (n+1)^c=n+1-\frac{n}{c}$ (3)
Xét $f(t)=(n+1)^t;g(t)=n+1-\frac{n}{t}$ trên $(0;+\infty )$ có
$f'(t)=(n+1)^c.ln(n+1)>0;g'(t)=1+\frac{n}{t^2}>0$
$\Rightarrow f(t);g(t)$ đồng biến trên $(0;+\infty )$
Mà $f(v)=(n+1)^v>0;g(v)=v+1-\frac{n}{v}<0$ với $v=0,00...001$ (có vô hạn chữ số 0 sau phần thập phân)
$\Rightarrow$ $f(v)>g(v)\Rightarrow$ phương trình $f(t)=g(t)$ vô nghiệm
Áp dụng vào (3): ta suy ra (3) vô nghiệm
Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm $S=\varnothing$


Mở rộng không có nhiều giá trị. Điểm mở rộng: 3

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 20-01-2013 - 15:42
Chấm điểm


#9
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Đã xong điểm trận 17, các toán thủ có thời gian phúc khảo đến hết 24h ngày 20/1

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh