Lời giải đề nghị:Khi $E$ là trung điểm của $PQ$, dễ thấy $AB, CD$ cùng song song với $PQ$.
Do đó $ABCD$ là hình thang cân.
Điều đó có nghĩa là $ABCD$ nội tiếp.
Khi $E$ không là trung điểm của $PQ$, dễ thấy $AB, CD$ cùng không song song với $PQ$.
Đặt $S=AB \cap PQ$. Vì $ABPQ$ là tứ giác lồi nên $S$ nằm ngoài đoạn $AB$.
Ta sẽ chứng minh đường tròn $(ABE)$ tiếp xúc $SE$.
Có hai trường hợp cần xem xét.
Trường hợp 1. $S$ thuộc tia đối của tia $BA$
Vì góc $\widehat{BPS}$ là góc ngoài của tam giác BPE, tứ giác ABPQ nội tiếp, $\widehat{EBP}=\widehat{EAQ}$ nên
$\widehat{BES}=\widehat{BPS}-\widehat{EBP}=\widehat{SAQ}-\widehat{EAQ}=\widehat{SAE}.$
Suy ra đường tròn $(ABE)$ tiếp xúc với $SE$.
Trường hợp 2. $S$ thuộc tia đối của tia $AB$
Vì góc $\widehat{BES}$ là góc ngoài của tam giác $BPE$, tứ giác $ABPQ$ nội tiếp, $\widehat{EBP}=\widehat{EAQ}$ nên
$\widehat{BES}=\widehat{BPE}+\widehat{EBP}=\widehat{SAQ}+\widehat{EAQ}=\widehat{SAE}.$
Do đó $\widehat{BEP}=\pi -\widehat{BES}=\pi -\widehat{SAE}=\widehat{BAE}.$
Suy ra đường tròn $(ABE)$ tiếp xúc với $SE$.
Tóm lại trong cả hai trường hợp ta đều có đường tròn $(ABE)$ tiếp xúc với $SE$.
Vậy, theo định lí về phương tích ta có, $\overline{SA}.\overline{SB}={{\overline{SE}}^{2}}$ (1).
Mặt khác, vì tứ giác $ABPQ$ nội tiếp nên, theo định lí phương tích, $\overline{SA}.\overline{SB}=\overline{SP}.\overline{SQ}.$
Từ đó, chú ý tới (1), suy ra
${{\overline{SE}}^{2}}=\overline{SP}.\overline{SQ}=(\overline{SE}+\overline{EP}).(\overline{SE}+\overline{EQ}).$
Sau một vài biến đổi đại số đơn giản, ta có $\overline{SE}=-\frac{\overline{EP}+\overline{EQ}}{\overline{EP}.\overline{EQ}}$ (2).
Đặt $S'=CD\cap PQ$.
Tương tự như trên $\overline{S'C}.\overline{S'D}={{\overline{S'E}}^{2}}$ (3).
Lại tương tự như trên $\overline{S'E}=-\frac{\overline{EP}+\overline{EQ}}{\overline{EP}.\overline{EQ}}$ (4).
Từ (2) và (4) suy ra $\overline{SE}=\overline{S'E}.$
Do đó, $\overline{SS'}=\overline{EE}=0.$
Vậy $S$ trùng $S’$ (5).
Từ (1), (3) và (5) suy ra $\overline{SA}.\overline{SB}=\overline{SC}.\overline{SD}.$
Do đó, theo định lí về phương tích , tứ giác $ABCD$ nội tiếp.
Chủ đề bị khóa
