Chủ đề này có 4 trả lời

[Zaraki]

Giải phương trình nghiệm nguyên $$x^2y^2=z^2(z^2-x^2-y^2)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Phạm Quang Toàn: 12-01-2013 - 18:03

[Joker9999]

Giải phương trình nghiệm nguyên $$x^2y^2=z^2(z^2-x^2-y^2)$$

Lời giải:
Bổ đề về phương trình Pitago quen thuộc:
$x^2+y^2=z^2$ với $x,z$ lẻ thì tồn tại $m,n$ sao cho $x=m^2-n^2,y=2mn,z=m^2+n^2, m>n,(m,n)=1$ và các số này đều nguyên dương
****************************************************************************************
Do hệ số của $x,y,z$ đều chẵn nên chỉ xét miền nghiệm dương là đủ( lúc sau kết luận nghiệm sau).
Giả sử phương trình trên có nghiệm, gọi $(x_0,y_0,z_0)$ là nghiệm của phương trình sao cho $\frac{x_0y_0}{z_0}$ nhỏ nhất. Ta có từ phương trình thì: $\frac{x_0y_0}{z_0}=z_0-x_0-y_0$.Đặt $d=(x_0,y_0,z_0)$ thì $x_0=dx_1,y_0=y_1d,z_0=z_1d,(x_1,y_1,z_1)=1$. Thay vào pt ta có ngay: $x_1^2y_1^2=z_1^2(z_1^2-x_1^2-y_1^2)$. Đặt $u=(x_1,z_1),t=(y_1,z_1)\Rightarrow$ tồn tại $t,w$ để $x_1=ut,y_1=wv$. Mặt khác $x_1y_1\vdots z_1\Rightarrow utwv\vdots z_1$, nhưng do chúng nguyên tố cùng nhau nên $z_1=uv$ thay vào ta có: $(utvw)^2=(uv)^2[(uv)^2-(ut)^2-(wv)^2]\Leftrightarrow (u^2+w^2)(v^2+t^2)=2u^2v^2$. Mặt khác ta có: $(u,w)=1,(v,t)=1$ do $(x_1,y_1,z_1)=1$ nên : $u^2+w^2=v^2,u^2+t^2=2u^2$ hoặc $u^2+w^2=2v^2,u^2+t^2=u^2$ nhưng do tính bình đẳng nên ta chỉ xét với hệ thứ nhất.Do $v,t$ nguyên tố với nhau nên chúng cùng lẻ hoặc khác tính chẵn lẻ, mặt khác tổng chúng chẵn ($2u^2\vdots 2$) nên chúng cùng lẻ, do đó chia $4$ đều nhận dư $1$, từ đây suy ra $u$ lẻ,$v$ lẻ và từ $u^2+w^2=v^2$ ta áp dụng bổ đề thì tồn tại $m,n$ sao cho:$u=m^2-n^2,w=2mn,v=m^2+n^2$. THay vào phươnng trình thứ 2 lại được: $t^2+(2mn)^2=(m^2-u^2)^2$ áp dụng bổ đề 1 lần nữa thì tồn tại $p,q$ thoả mãn: $t=p^2-q^2,mn=pq,m^2-n^2=p^2+q^2$. Vì vậy : $p^2q^2=m^2(m^2-q^2-p^2)$ có $(p,q,m)$ là 1 nghiệm của phương trình ban đầu nhưng có: $\frac{pq}{m}=n$ $ <d(p^2-q^2)2mn=\frac{x_0y_0}{z_0}$ nên theo nguyên lí cực hạn ta được điều mâu thuẫn.
Kết luận: Phương trình vô nghiệm.

[mduc123]

bài này có nghiệm đấy ạ

[mduc123]

Lời giải:
Bổ đề về phương trình Pitago quen thuộc:
$x^2+y^2=z^2$ với $x,z$ lẻ thì tồn tại $m,n$ sao cho $x=m^2-n^2,y=2mn,z=m^2+n^2, m>n,(m,n)=1$ và các số này đều nguyên dương
****************************************************************************************
Do hệ số của $x,y,z$ đều chẵn nên chỉ xét miền nghiệm dương là đủ( lúc sau kết luận nghiệm sau).
Giả sử phương trình trên có nghiệm, gọi $(x_0,y_0,z_0)$ là nghiệm của phương trình sao cho $\frac{x_0y_0}{z_0}$ nhỏ nhất. Ta có từ phương trình thì: $\frac{x_0y_0}{z_0}=z_0-x_0-y_0$.Đặt $d=(x_0,y_0,z_0)$ thì $x_0=dx_1,y_0=y_1d,z_0=z_1d,(x_1,y_1,z_1)=1$. Thay vào pt ta có ngay: $x_1^2y_1^2=z_1^2(z_1^2-x_1^2-y_1^2)$. Đặt $u=(x_1,z_1),t=(y_1,z_1)\Rightarrow$ tồn tại $t,w$ để $x_1=ut,y_1=wv$. Mặt khác $x_1y_1\vdots z_1\Rightarrow utwv\vdots z_1$, nhưng do chúng nguyên tố cùng nhau nên $z_1=uv$ thay vào ta có: $(utvw)^2=(uv)^2[(uv)^2-(ut)^2-(wv)^2]\Leftrightarrow (u^2+w^2)(v^2+t^2)=2u^2v^2$. Mặt khác ta có: $(u,w)=1,(v,t)=1$ do $(x_1,y_1,z_1)=1$ nên : $u^2+w^2=v^2,u^2+t^2=2u^2$ hoặc $u^2+w^2=2v^2,u^2+t^2=u^2$ nhưng do tính bình đẳng nên ta chỉ xét với hệ thứ nhất.Do $v,t$ nguyên tố với nhau nên chúng cùng lẻ hoặc khác tính chẵn lẻ, mặt khác tổng chúng chẵn ($2u^2\vdots 2$) nên chúng cùng lẻ, do đó chia $4$ đều nhận dư $1$, từ đây suy ra $u$ lẻ,$v$ lẻ và từ $u^2+w^2=v^2$ ta áp dụng bổ đề thì tồn tại $m,n$ sao cho:$u=m^2-n^2,w=2mn,v=m^2+n^2$. THay vào phươnng trình thứ 2 lại được: $t^2+(2mn)^2=(m^2-u^2)^2$ áp dụng bổ đề 1 lần nữa thì tồn tại $p,q$ thoả mãn: $t=p^2-q^2,mn=pq,m^2-n^2=p^2+q^2$. Vì vậy : $p^2q^2=m^2(m^2-q^2-p^2)$ có $(p,q,m)$ là 1 nghiệm của phương trình ban đầu nhưng có: $\frac{pq}{m}=n$ $ <d(p^2-q^2)2mn=\frac{x_0y_0}{z_0}$ nên theo nguyên lí cực hạn ta được điều mâu thuẫn.
Kết luận: Phương trình vô nghiệm.

em thấy lời giải này chưa hợp lý ở chỗ,$\left ( x_{0},y_{0},z_{0}\right )= d> 1\Rightarrow (\frac{x_{0}}{d},\frac{y_{0}}{d},\frac{z_{0}}{d}) cũng là nghiệm của phương trình ban đầu nên ta có $\frac{x_{0}y_{0}}{dz_{0}}< \frac{x_{0}y_{0}}{z_{0}}$ 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi mduc123: 13-04-2018 - 22:32

[mduc123]

bài này tương tự bài số 4 của đề đề xuất duyên hải Bắc Bộ năm 2015-2016 của trường THPT chuyên Nguyễn Trãi Hải Dương ạ