Chủ đề này có 6 trả lời

[Primary]

Có $n(n\geq 2)$ con chim én đậu trên một đường tròn tâm $O$ sao cho tại một điểm của đường tròn có đúng 1 con én đậu. Hai con én đậu tại 2 điểm phân biệt $P_i,$ $P_j$ được gọi là trông thấy nhau nếu $\widehat{P_iOP_j}\leq 120^o$
Hãy tìm số nhỏ nhất các cặp chim én trông thấy nhau.

[gogo123]

Mình giải thế này không biết có đúng hay không.
Ta có: $\frac{360^o}{120^o}=3$.
Như vậy ta sẽ chia đường tròn thành 3 phần bằng nhau có độ dài mỗi phần là $\frac{2 \pi R}{3}$.
Khi đó theo dữ kiện bài toán thì nếu 2 con én đậu trong cùng một phần thì trông thấy nhau.(Chú ý là 3 phần này không nằm có định trên đường tròn)
Trải đường tròn ra thành một đoạn thẳng có độ dài 3 đơn vị (quy ước mỗi đơn vị là $\frac{2 \pi R}{3}$) sao cho điểm đầu tiên ta xét ó toạ độ là 0.
Khi đó giả sử các con én đậu tại các vị trí $0=a_1<a_2<a_3<...<a_n$ thì ta có:
Hai con én $a_i;a_j$ với $i<j$ không thấy nhau khi và chỉ khi $a_j-a_i\in(1,2)$
Chọn a_1 là điểm sao cho khi chia đoạn thẳng theo nó thành 3 phần thì số điểm nó không thấy nhiều nhất.
Giả sử $a_1=0<a_2<...<a_k<1\leq a_{k+1}$ .Suy ra các điểm mà $k$ điểm này không nhìn thấy sẽ phải nằm trong khoảng $(1+a_k,2)$.
Giả sử có $t$ điẻm nằm trong khoảng đó.
Ta có một nhận xét như sau: Nếu có một điểm nằm ngoài 2 khoảng trên thì chắc chắn sẽ tồn tại ít nhât một tập điẻm đã nói đến ở trên nhìn thấy nó.Do đó nếu tồn tại một điẻm ngài đoạn trên thì số cặp điểm nhì thấy nhau sẽ tăng lên.
Suy ra tất cả các điểm nằm trong 2 khoảng trên.
Khi đó số cặp điẻm không nhìn thấy nhau là $k.t\leq \frac{(k+t)^2}{4}=\frac{n^2}{4}$ (đây là trong Th $n$ chẵn, nếu $n$ lẻ thì $\leq \frac {(n-1)(n+1)}{2}$)

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gogo123: 21-01-2013 - 17:23

[Primary]

Bài toán yêu cầu tìm số cặp én "nhìn thấy nhau" nhỏ nhất

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Primary: 21-01-2013 - 20:14

[gogo123]

Thì bằng $\binom{n}{2}-\frac{n^2}{4}$

[Primary]

Thì bằng $\binom{n}{2}-\frac{n^2}{4}$

Kết quả là thế này: $\left [ \frac{(n-1)^2}{4} \right ]$ . Khá đẹp

[gogo123]

Thì $\binom{n}{2}-\frac{n^2}{4}=\frac{n(n-1)}{2}-\frac{n^2}{4}=\frac{(n-1)^2-1}{4}$ khi $n$ chẵn
và $\binom{n}{2}-\frac{(n-1)(n+1)}{4}=\frac{n(n-1)}{2}-\frac{n^2}{4}=\frac{(n-1)^2}{4}$ khi $n$ lẻ.
Chính là kết quả của bạn đó.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi gogo123: 22-01-2013 - 23:56

[Primary]

Từ từ mình sẽ post lời giải, lời giải khá dài