Chủ đề này có 10 trả lời

[WhjteShadow]

Đa thức là 1 mảng không nhỏ tr0ng toán sơ cấp, thường được xuất hiện tr0ng các kì thi HSG cấp tỉnh, quốc gia, đặc biệt là các kì thi dành ch0 các bạn học sinh lớp 10 ( Đồng bằng Bắc bộ, 30/4,...). Mình lập topic này để các bạn có thể giúp đỡ nhau học tốt phần này .
A_ Các khái niệm cơ bản.
$\bullet$ Định nghĩa:
Ta gọi đa thức bậc $n$ biến $x$ là 1 biểu thức có dạng:
$$P_n(x)=a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+....+a_1x+a_0\,\,(a_n\neq 0)$$
Tr0ng đó các số $a_i$ là hệ số, $a_n$ là hệ số bậc ca0 nhất và $a_0$ là hệ số tự do.
$\bullet$ Đa thức trên tập hợp $\mathbb{A}$ là đa thức dạng:
$P_{(x)}=\sum_{k=0}^{n}a_k.x^k$, với $a_n\neq 0,a_i\in \mathbb{A}\,\forall i=\overline{1,n}$
Và kí hiệu $P_{(x)}\in \mathbb{A}[x]$
$\bullet$ 1 số định nghĩa khác:
+) Đa thức nguyên là đa thức $\in \mathbb{Z}[x]$
+) Đa thức xác định nguyên là đa thức $\in \mathbb{Z}\forall x\in \mathbb{Z}$
Ta định nghĩa 1 cách tương tự với đa thức dương, âm, xác định dương, xác định âm...
B_ 1 số tính chất, định lý thường dùng.
1. Định lý Bezóut:
2 đa thức $(P;Q)=1\Leftrightarrow $ tồn tại $R,S$ sa0 ch0 $PR+QS=1$
2. Tiêu chuẩn $Eisenstein$:
Ch0 đa thức: $P_{(x)}=\sum_{k=0}^{n}a_k.x^k \in\mathbb{Z}[x]$. Nếu tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $a_n\ \vdots p$ , $a_0,...,a_{n-1}\vdots p$, và $a_0\ \vdots p^2$ thì $P_{(x)}$ là bất khả quy trên $\mathbb{Z}$
3. Tổng quát hóa tiêu chuẩn $Eisenstein$:
Ch0 đa thức: $P_{(x)}=\sum_{k=0}^{n}a_k.x^k \in\mathbb{Z}[x]$. Nếu tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho $a_n\not \vdots p$ , $a_0,...,a_{i}\vdots p$, và $a_0\not \vdots p^2$, $P_{(x)}=H_{(x)}.G_{(x)}$ thì: $Max \deg G,H\geq k+1$.
4. Tiêu chuẩn $Polya$
Cho $P\in\mathbb{Z}[x]$ bậc $n$ . Đặt $m=\left[\frac{n+1}{2}\right]$ .Giả sử $n$ số nguyên khác nhau $d_1,d_2,\ldots,d_n$ không là nghiệm của $P$ và thỏa mãn $f(d_i)<\frac{m!}{2^n}$ .
Khi đó $P$ bất khả quy.
5. Công thức nội suy $Lagrange$:
Cho $f\in \mathbb{R}$, $\deg f=n$ và $n+1$ số thực $\alpha_1;\alpha_2;...;\alpha_{n+1}$ cho trước thì $f$ được xác định như sau$$f(x)=f(\alpha_1).\frac{(x-\alpha_2)(x-\alpha_3)...(x-\alpha_{n+1})}{(\alpha_1-\alpha_2)(\alpha_1-\alpha_3)...(\alpha_1-\alpha_{n+1})}+...+f(\alpha_{n+1}).\left(\frac{(x-\alpha_1)(x-\alpha_2)...(x-\alpha_n)}{(\alpha_{n+1}-\alpha_1)(\alpha_{n+1}-\alpha_2)...(\alpha_{n+1}-\alpha_n)} \right )$$
Hay $f(x)=\sum\limits_{i=1}^{n+1}f(\alpha_i)\prod\limits_{j=1;j\neq i}^{n+1}\frac{x-\alpha_j}{\alpha_i-\alpha_j}$
C. Các bài toán.
Bài toán 1.
Ch0 $p$ là số nguyên tố. Chứng minh đa thức sau bất khả quy:
$$P_{(x)}=x^{p-1}+x^{p-2}+....+1$$
Bài toán 2. [VMO-86]
Ch0 $P_{(x)}\in \mathbb{R}[x]$, $\deg P\leq n$, $P_{(k)}=2^k \forall k=\overline{1,n+1}$.
Tính $P_{(n+2)}$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi WhjteShadow: 22-07-2013 - 12:01

[phudinhgioihan]

Bài toán 2. [VMO-86]
Ch0 $P_{(x)}\in \mathbb{R}[x]$, $\deg P\leq n$, $P_{(k)}=2^k \forall k=\overline{1,n+1}$.
Tính $P_{(n+2)}$

Dùng Lagangre cũng được, nhưng mà sáng tạo tí cũng hay

Số $2^k$ làm ta gợi nhớ đến gì nào? Rất quen thuộc !
$$2^k=\sum_{i=0}^k \binom{k}{i}=\sum_{i=0}^k \dfrac{k!}{i!(k-i)!}=1+\sum_{i=1}^k \dfrac{k(k-1)...(k-i+1)}{i!}$$

Từ đó gợi ý xét $Q(x)=1+\sum_{i=1}^n \dfrac{x(x-1)...(x-i+1)}{i!}$ , dễ thấy $\deg(Q)=n$

Ta có $\forall k \in \{1,2,...,n+1\} , \; Q(k)=1+\sum_{i=1}^n \dfrac{k(k-1)...(k-i+1)}{i!}=2^k $

Vậy $H(x)=Q(x)-P(x)$ có bậc $\le n$ và có $n+1$ nghiệm, do đó $H(x)=0 \;\;, \forall x \in \mathbb{R}$

Suy ra $$P(n+2)=Q(n+2)=1+\sum_{i=1}^{n} \dfrac{(n+2)(n+1)n...(n+3-i)}{i!}$$

$$=\sum_{i=0}^n \dfrac{(n+2)!}{i! (n+2-i)!}=\sum_{i=0}^n \binom{n+2}{i}=2^{n+2}-n-3$$

[phudinhgioihan]

Xin bổ sung đôi chút:

1) Cho $P(x)=\sum_{i=0}^n a_{i}x^i$ là đa thức hệ số nguyên và $k$ là $1$ số tự nhiên sao cho $0\le k\le n-1$. Giả sử tồn tại số nguyên tố $p$ sao cho:

$1)$ $a_n$ không chia hết cho $p$.
$2)$ Những hệ số $a_0;a_1;...;a_{n-k-1}$ chia hết cho $p$.

$3)$ $a_0$ không chia hết cho $p^2$.
Khi đó P(x) có ước không phân tích được là G(x) mà bậc của đa thức này lớn hơn hoặc bằng $n-k.$

Khi $k=0$ ta có tiêu chuẩn Eisenstein

2) Tiêu chuẩn Oskar Perron

Cho đa thức $P(x)$ hệ số nguyên. Giả sử tồn tại số nguyên $b$ và số nguyên tố $p$ sao cho chúng thoả mãn điều kiện sau :

$1)\; P(b)=p$

$2)\; P(b-1)\not=0.$

$3)\;$ Tất cả các nghiệm $\eta_i;\; ( i=\overline{1,n} )$ của đa thức $P(x)$ thỏa mãn bất đẳng thức $Re \;\eta_i <b-\frac{1}{2}$.

Khi đó đa thức $P(x)$ bất khả quy.

3)

Đa thức $F(x^2)$ là khả quy trên $\mathbb{Z}[x]$ khi và chỉ khi hoặc $F(x)$ khả quy, hoặc $aF(x) = G^2(x) - xH^2(x)$ với $G(x), H(x)$ thuộc $\mathbb{Z}[x]$, trong đó a = 1 hoặc -1.

4)
Cho $b\ge 3$ là 1 số nguyên dương và $p$ là 1 số nguyên tố . Viết $p$ dưới dạng cơ số $b$ như sau :

$p=\sum_{i=0}^na_ib^{n-i}$

Với $n$ là số tự nhiên $a_0\not=0$ và $0\le a_i<b\; ( i=\overline{1,n} \; )$ .

Khi đó đa thức: $P(x)=\sum_{i=0}^na_ix^{n-i} $ là đa thức bất khả quy.

5)

Cho $f(x)=x^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_0\in\mathbb{Z}[x],a_0\not = 0$.

Nếu $|a_{n-1}|>1+|a_{n-2}|+...+|a_0|$ thì $f$ là bất khả quy trên $\mathbb{Z}$

[Ispectorgadget]

Bài toán 1.
Ch0 $p$ là số nguyên tố. Chứng minh đa thức sau bất khả quy:
$$P_{(x)}=x^{p-1}+x^{p-2}+....+1$$

$$P=\frac{x^p-1}{x-1}=\frac{(x-1)(x^{p-1}+x^{p-2}+...+1)}{x-1}=x^{p-1}+x^{p-2}+...+1$$
Đặt $x=y+1$ ta có $P=(y+1)^{p-1}+(y-1)^{p-2}+...+1=\frac{(y+1)^p-1}{y}= y^{p-1}+C^1_p.y^{p-2}+...+C^{p-1}_p$
$P=y^{p-1}+C^1_p.y^{p-2}+...+p$
Ta có:
\[\left\{ \begin{array}{l}
{a_0} = {y^{p - 1}} \not\vdots p\\
{a_1} = C_p^2,{a_2} = C_p^3,...,{a_n} = C_p^{p - 1} \vdots p\\
{a_n} = C_p^{p - 1} \not\vdots p^2
\end{array} \right.\]
Nên theo tiêu chuẩn Eisenstein ta có đa thức $P$ bất khả quy.

Bài 3: Tìm tất cả các đa thức $P(x),Q(x)$ với hệ số thực thoả
$$P(x^2)+Q(x)=P(x)+x^5Q(x),\forall x\in\mathbb{R}.$$
GREEK MATHEMATICAL SOCIETY 2012
Bài 4:
Cho $n\in\mathbb{N}^+, m\in\mathbb{R}$ và đa thức $f(x)$ có bậc $n$, không có nghiệm thực.
Chứng minh rằng đa thức sau cũng không có nghiệm thực:
$$F(x) =\sum^n_{k=1}m^k\cdot f^{(k)}(x)$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi Ispectorgadget: 17-01-2013 - 20:57

[Ispectorgadget]

Bài 5: Gọi $\alpha = cos\frac{2\pi}{n}+isin\frac{2\pi}{n}$ là 1 căn nguyên thủy của số phức $z$ xét đa thức $f(x)=\prod\limits_{k;n} {(x - {\alpha ^k})} $
CMR : $f(x)$ bất khả quy trên $\mathbb{Q}$

[WhjteShadow]

Bài 3:
Viết lại $P(x^2)-P(x)=(1-x^5)Q(x)$. Gọi $e$ là một căn bậc $5$ khác $1$ của đơn vị, khi đó thay vào thấy ngay $P(e^2)=P(e) \Rightarrow P(e)=P(e^2)=P(e^3)=P(e^4)$. Do vậy nếu ta thực hiện phép chia đa thức $P(x)=(x^4+x^3+x^2+x+1)H(x)+K(x)$ với $K$ là đa thức dư bậc không quá $3$, thì $K(x)$ phải là đa thức hằng (và bằng số thực $a$ nào đó). Thành thử $P(x)=(x^4+x^3+x^2+x+1)H(x)+a$. Thay trở lại bài toán:
$P(x^2)-P(x)=(x^5-1)(x+x^3)H(x^2)+(x^4+x^3+x^2+x+1)[H(x^2)-H(x)]$.
Rõ ràng $[H(x^2)-H(x)] \vdots (x-1)$ nên có thể đặt $H(x^2)-H(x)=(x-1)S(x)$. Khi đó $Q(x)$ sẽ được xác định bởi:
$Q(x)=-(x+x^3)H(x^2)-S(x)$.

[barcavodich]

Bài 6:

Cho đa thức $f(x)=ax^2+bx+c$ với $a,b,c\in\mathbb{Z},a\neq 0$ sao cho $\sqrt{f(x)}\in\mathbb{Z},\forall x\in \mathbb{Z}$.Chứng minh rằng tồn tại $A,B\in\mathbb{Z}$ sao cho $f(x)=(Ax+B)^2$

[nguyenthehoan]

Bài 6:

Cho đa thức $f(x)=ax^2+bx+c$ với $a,b,c\in\mathbb{Z},a\neq 0$ sao cho $\sqrt{f(x)}\in\mathbb{Z},\forall x\in \mathbb{Z}$.Chứng minh rằng tồn tại $A,B\in\mathbb{Z}$ sao cho $f(x)=(Ax+B)^2$

Xét dãy (x_n) xác định bởi: $x_n=\sqrt{an^{2}+bn+c}$.Khi đó $x_{n+1}-x_n=\sqrt{a(n+1)^{2}+b(n+1)+c}-\sqrt{an^{2}+bn+c}$

 

=$\frac{a(2n+1)+b}{\sqrt{a(n+1)^{2}+b(n+1)+c}+\sqrt{an^{2}+bn+c}}$

 

Do đó $\lim (x_{n+1}-x_n)=\sqrt{a}$.Do $x_n$ là số nguyên,nên $\sqrt{a}$ là số nguyên,do đó $a=A^{2}$.

 

suy ra $f(x)=A^{2}x^{2}+bx+c\Rightarrow 4A^{2}f(x)=(2A^{2}x+b)^{2}-b^{2}+4A^{2}c$

 

do $f(x)$ là số chính phương với mọi $x$ nên $-b^{2}+4A^{2}c=0$.Từ đó ta có Dpcm

[Thao Huyen]

Bài 7, cho $f(x)=x^{2n}+a_{2n-1}x^{2n-1}+...+a_1x+a_0$

n thuộc N*, a_i thuộc R

C/m rằng : $f(x)=(p(x))^2+ r(x)$ với p(x), r(x) thuộc R[x]và bậc deg(x) <n

Bài 8, cho $\alpha \epsilon R$ sao cho $\alpha \neq 0$:

C/m rằng mọi $x\geqslant 2$ thì:  $p(x)= x^nsin\alpha -x(sin(n\alpha))+sin(n-1)\alpha \vdots x^2-2xcos\alpha+1$

Bài 9, P(x), Q(x),R(x),S(x) thuộc R[x]sao cho:

$P(x^5)+xQ(x^5)+x^2 R(x^5)= (x^4+x^3+x^2+x+1)S(x)$

C/m: $p(x)\vdots (x-1)$

[loigiailanhlung]

Tìm đa thừc hệ số nguyên g(x) sao cho:
$$g(x^2)+x(g(x)+g(-x))=g^2(-x)$$

[Element hero Neos]

Tìm đa thừc hệ số nguyên g(x) sao cho:
$$g(x^2)+x(g(x)+g(-x))=g^2(-x)$$

g(x) bậc mấy vậy?