Đến nội dung


Hình ảnh

Chữ số đầu tiên của $x!$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 chuyentoan

chuyentoan

    None

  • Hiệp sỹ
  • 1650 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Darmstadt - Germany
  • Sở thích:Guitar, Bóng đá

Đã gửi 18-01-2013 - 02:29

Tồn tại hay không số nguyên dương $n$ thỏa mãn: với $k=1,2,...,9$ thì chữ số đầu tiên (tính từ trái sang) của $(n+k)!$ bằng $k$ (ở đây ta biểu diễn các số trong hệ thập phân)
The only way to learn mathematics is to do mathematics

#2 chanhquocnghiem

chanhquocnghiem

    Thiếu tá

  • Thành viên
  • 2072 Bài viết
  • Giới tính:Nam
  • Đến từ:Vũng Tàu
  • Sở thích:Toán,Thiên văn,Lịch sử

Đã gửi 13-10-2014 - 07:44

Tồn tại hay không số nguyên dương $n$ thỏa mãn: với $k=1,2,...,9$ thì chữ số đầu tiên (tính từ trái sang) của $(n+k)!$ bằng $k$ (ở đây ta biểu diễn các số trong hệ thập phân)

Giả sử tồn tại số nguyên dương $n$ thỏa mãn ĐK đề bài.

Dễ thấy rằng số $n$ đó chắc chắn lớn hơn $10$ 

$\Rightarrow 1<\frac{(n+8).(n+9)}{(n+2).(n+3)}< \frac{(10+8).(10+9)}{(10+2).(10+3)}=\frac{57}{26}$ (1)

Gọi $m_{k}$ là số chữ số của số $(n+k)!$

Số $(n+1)!$ bắt đầu bằng chữ số $1$ (2)

Số $(n+3)!$ bắt đầu bằng chữ số $3$ (3)

(2),(3) $\Rightarrow (n+2)(n+3)=\frac{(n+3)!}{(n+1)!}> \frac{3.10^{m_{3}-1}}{2.10^{m_{1}-1}}=1,5.10^{m_{3}-m_{1}}$ 

Và $(n+2)(n+3)=\frac{(n+3)!}{(n+1)!}< \frac{4.10^{m_{3}-1}}{1.10^{m_{1}-1}}=4.10^{m_{3}-m_{1}}$

Vậy $1,5.10^{m_{3}-m_{1}}<(n+2)(n+3)<4.10^{m_{3}-m_{1}}$ (4)

(1),(4) $\Rightarrow 1,5.10^{m_{3}-m_{1}}<(n+8)(n+9)<\frac{114}{13}.10^{m_{3}-m_{1}}$ (5)

(5) $\Rightarrow (n+9)!=(n+7)!.(n+8).(n+9)$ bắt đầu bằng chữ số từ $1$ đến $7$ (mâu thuẫn với điều giả sử ở trên)

(vì $7.1,5=10,5$ và $8.\frac{114}{13}\approx 70,1538$)

Điều đó chứng tỏ điều giả sử trên là sai $\Rightarrow$ không có số nguyên dương $n$ nào thỏa mãn ĐK đề bài.


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi chanhquocnghiem: 13-10-2014 - 14:59

...

Ðêm nay tiễn đưa

Giây phút cuối vẫn còn tay ấm tay
Mai sẽ thấm cơn lạnh khi gió lay
Và những lúc mưa gọi thương nhớ đầy ...

 

http://www.wolframal...-15)(x^2-8x+12)





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh