Chủ đề này có 4 trả lời

[vodoi1432]

$\int_{0}^{pi/6}\frac{sin^{2}x}{sinx+\sqrt{3}cosx}$

Bài này cô em gợi ý là cộng với 1 biểu thức giống thế nhưng trên tử là $cos^{2}x$ đến khi ra kết quả của phép cộng 2 biểu thứ $I1 + I2$ thì ko biết trả về tích phân của $I1$ như thế nào

[vo van duc]

$\int_{0}^{pi/6}\frac{sin^{2}x}{sinx+\sqrt{3}cosx}$

Làm theo ý tưởng khác nhé!
............................................
$I=\int_{0}^{\frac{\Pi }{6}}\frac{\sin ^{2}x}{\sin x+\sqrt{3}\cos x}dx$

$=\int_{0}^{\frac{\Pi }{6}}\frac{1}{2}.\frac{\sin ^{2}x}{\frac{1}{2}.sin x+\frac{\sqrt{3}}{2}.\cos x}dx$

$=\int_{0}^{\frac{\Pi }{6}}\frac{1}{2}.\frac{\sin ^{2}x}{\cos (x-\frac{\Pi }{6})}dx$

Đặt $t=x-\frac{\Pi }{6}$, ta có

$I=\int_{-\frac{\Pi }{6}}^{0}\frac{1}{2}.\frac{\sin ^{2}(t+\frac{\Pi }{6})}{\cos t}dt$

$=\int_{-\frac{\Pi }{6}}^{0}\frac{1}{8}.\frac{\left ( \sqrt{3}\sin t+\cos t \right )^{2}}{\cos t}dt$

$=\frac{1}{8}\int_{-\frac{\Pi }{6}}^{0}\frac{3\sin ^{2}t+2\sqrt{3}\sin t\cos t+\cos ^{2}t}{\cos t}dt$

$=\frac{3}{8}\int_{-\frac{\Pi }{6}}^{0}\frac{\sin ^{2}t}{\cos t}dt+\frac{2\sqrt{3}}{8}\int_{-\frac{\Pi }{6}}^{0}\sin tdt+\frac{1}{8}\int_{-\frac{\Pi }{6}}^{0}\cos tdt$

$=\cdots$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 19-01-2013 - 09:42

[zipienie]

$\int_{0}^{pi/6}\frac{sin^{2}x}{sinx+\sqrt{3}cosx}$

Bài này cô em gợi ý là cộng với 1 biểu thức giống thế nhưng trên tử là $cos^{2}x$ đến khi ra kết quả của phép cộng 2 biểu thứ $I1 + I2$ thì ko biết trả về tích phân của $I1$ như thế nào

Mình cũng làm như cách của BTV vo van duc.
Hơn nũa mình muốn chú ý thêm là, nếu cô giáo của bạn nói như vậ thì có thể là cách của cô biến đổi khá dài và gần như không thể ra được tích phân $I_{1}$.
cách mà cô bạn nói thường chỉ áp dụng cho tích phân có dạng $\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}f(\cos x)dx$ và $\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}f(\sin x) dx$ với $n$ là số hữu tỉ dương
Cụ thể là $I_1=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{\sin ^n x}{\cos^n x+\sin^n x}dx$
Áp dụng tính chất $\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}f(\cos x)dx=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}f(\sin x) dx$ thì suy ra
$$\begin{cases} I_{1}=I_{2}\\I_{1}+I_{2}=\dfrac{\pi}{2}\end{cases}\iff I_1=I_2=\dfrac{\pi}{4}$$
Với $I_2=\int_{0}^{\dfrac{\pi}{2}}\dfrac{\cos ^n x}{\cos^n x+\sin^n x}dx$

[vodoi1432]

hì, hôm đó mình ko chú ý, hóa ra là + với 1 biểu thức và trừ đi 1 biểu thức sau đó giải hệ

[vo van duc]

Theo ý tưởng của cô giáo em nè!
......................................................
$I=\int_{0}^{\frac{\Pi }{6}}\frac{\sin ^{2}x}{\sin x+\sqrt{3}\cos x}dx$

$J=\int_{0}^{\frac{\Pi }{6}}\frac{\cos ^{2}x}{\sin x+\sqrt{3}\cos x}dx$

Ta tính các tích phân sau:

$I-3J=\int_{0}^{\frac{\Pi }{6}}\left ( \sin x-\sqrt{3}\cos x \right )dx=a$

$I+J=\int_{0}^{\frac{\Pi }{6}}\frac{dx}{\sin x+\sqrt{3}\cos x}=b$

Giải hệ phương trình $\left\{\begin{matrix} I-3J=a\\ I+J=b \end{matrix}\right.$ ta tìm được $I$
.....................................................
Với ý tưởng này thì trong các sách thường gọi là "Phương pháp tích phân liên kết". Các em có thể tham khảo thêm một số bài sau:

• $\int_{-1}^{1}\frac{e^{-x}}{e^{-x}+e^{x}}dx$
  
  
• $\int_{0}^{\frac{\Pi }{2}}e^{x}\sin ^{2}xdx$
  
  
• $\int_{0}^{e^{\Pi }}\sin \left ( \ln x \right )dx$
  
  
• $\int_{0}^{\frac{\Pi }{6}}\frac{\sin ^{2}x}{\sin ^{2}x-\cos ^{2}x}dx$
  
  
• $\int_{0}^{\frac{\Pi }{4}}x^{2}\cos ^{2}xdx$
  
  
• $\int_{0}^{\frac{\Pi }{n}}e^{nx}\cos nxdx$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 19-01-2013 - 21:29