Đến nội dung

Hình ảnh

[MSS2013] - Trận 18 PT hoặc HPT đại số


  • Chủ đề bị khóa Chủ đề bị khóa
Chủ đề này có 41 trả lời

#1
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết

Chuyển nhanh đến:
1) Điều lệ
2) Đăng kí thi đấu
3) Lịch thi đấu và tổng hợp kết quả


Vào hồi 20h, Thứ Bảy, ngày 19/01/2013, Tổ trọng tài sẽ ra đề vào topic này, sau khi có đề, các toán thủ bắt đầu thi đấu.

Các toán thủ khi thi đấu, cứ yên tâm rằng, sau khi trả lời là bài làm đã được lưu, BTC đã nhận được bài làm của bạn, có điều bạn không nhìn thấy được mà thôi. Bạn nên mừng vì điều này, như thế các toán thủ khác không thể copy bài của bạn được.

Bạn cũng nên sử dụng chức năng xem trước của diễn đàn để sửa các lỗi Latex trước khi gửi bài, vì gửi rồi sẽ không xem và sửa lại được nữa.

BTC lưu ý:

1) Các toán thủ chớ quên rằng mỗi một mở rộng đúng sẽ được 10 điểm, các bạn nên mở rộng bài toán để thu được nhiều điểm hơn.

2) Sau khi trận đấu kết thúc, toán thủ nào tự ý sửa bài làm của mình sẽ được 0 điểm

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#2
E. Galois

E. Galois

    Chú lùn thứ 8

  • Quản lý Toán Phổ thông
  • 3861 Bài viết
Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}
x^3=6(y+1)\\
y^3=6(x+1)
\end{matrix}\right.$$
Đề của
daovuquang

1) Xem cách đăng bài tại đây
2) Học gõ công thức toán tại: http://diendantoanho...oạn-thảo-latex/
3) Xin đừng đặt tiêu đề gây nhiễu: "Một bài hay", "... đây", "giúp tớ với", "cần gấp", ...
4) Ghé thăm tôi tại 
http://Chúlùnthứ8.vn

5) Xin đừng hỏi bài hay nhờ tôi giải toán. Tôi cực gà.


#3
Nguyen Duc Thuan

Nguyen Duc Thuan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 367 Bài viết
Bài làm của em:
Lấy PT đầu trừ PT sau đc:
$(x-y)(x^2+xy+y^2)=6(y-x)$
$\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2+6)=0$
Mà $x^2+xy+y^2+6> 0$ với mọi x, y
suy ra x=y, thay vào PT đầu bài, ta có:
$x^3-6x-6=0$
Theo công thức nghiệm Cácđanô, ta có $x=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}$
Vậy hệ PT của bài có nghiệm duy nhất là $x=y=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}$

Bài làm sử dụng kiến thức vượt quá cấp THCS (Công thức Cardano)
Điểm bài làm 2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-02-2013 - 18:01
Chấm bài


#4
Nguyen Duc Thuan

Nguyen Duc Thuan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 367 Bài viết
Mở rộng:
Ta có thể tổng quát hệ số 6, đc hệ 2 PT dưới đây:
$x^{3}=n\left ( y+1 \right )$
$y^{3}=n\left ( x+1 \right )$
(với n là số không âm)
Giải:


Lấy PT đầu trừ PT sau đc:
$(x-y)(x^2+xy+y^2)=n(y-x)$
$\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2+n)=0$
Mà $x^2+xy+y^2+n> 0$ với mọi x, y
suy ra x=y, thay vào PT đầu bài, ta có:
$x^3-nx-n=0$
Theo công thức nghiệm Cácđanô, ta có $x=\sqrt[3]{\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}-\frac{n^3}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{n}{2}-\sqrt{\frac{n^2}{4}-\frac{n^3}{27}}}$
Vậy hệ PT của bài có nghiệm duy nhất là $x=y=\sqrt[3]{\frac{n}{2}+\sqrt{\frac{n^2}{4}-\frac{n^3}{27}}}+\sqrt[3]{\frac{n}{2}-\sqrt{\frac{n^2}{4}-\frac{n^3}{27}}}$

Mở rộng không được chấp nhận do lời giải bài toán dùng kiến thức vượt quá cấp học

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-02-2013 - 18:02
Chấm điểm


#5
Nguyen Duc Thuan

Nguyen Duc Thuan

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 367 Bài viết
Bài làm của em:
Lấy PT đầu trừ PT sau đc:
$(x-y)(x^2+xy+y^2)=6(y-x)$
$\Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2+6)=0$
Mà $x^2+xy+y^2+6> 0$ với mọi x, y
suy ra x=y, thay vào PT đầu bài, ta có:
$x^3-6x-6=0$
Theo công thức nghiệm Cácđanô, ta có $x=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}$
Vậy hệ PT của bài có nghiệm duy nhất là $x=y=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}$


#6
Tru09

Tru09

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 625 Bài viết
Bài làm :

Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}
x^3=6(y+1)\\
y^3=6(x+1)
\end{matrix}\right.$$
Đề của
daovuquang

$\left\{\begin{matrix}
x^3 -y^3 =6(y-x)\\
x^3 +y^3 =6(x+y) +12
\end{matrix}\right.$
$(x-y)(x^2 +xy+y^2 +6) =0$
Với $ x^2 +xy+y^2 +6 = (x+\frac{y}{2})^2 +\frac{3}{4}y^2 +6 > 0$ Loại
Với $x=y$ Thay vào (1) ta có :
$x^3 =6(x+1)$
$\Leftrightarrow x^3 -6x- 6 =0$
$\Leftrightarrow (x-\sqrt[3]{4} -\sqrt[3]{2})(x^2 +(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2})x+\sqrt[3]{16} +\sqrt[3]{4}-2)=0$
$\Leftrightarrow x= \sqrt[3]{4} +\sqrt[3]{2}=y$ (lạm dụng dấu tương đương)
Còn $x^2 +(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2})x+\sqrt[3]{16} +\sqrt[3]{4}-2$ có $\Delta =-3\sqrt[3]{16} -3\sqrt[3]{4} +12 <0$
$\Rightarrow$ vô nghiệm
Tóm lại
$(x,y) =(\sqrt[3]{4} +\sqrt[3]{2};\sqrt[3]{4} +\sqrt[3]{2})$

Điểm bài: 9
S = 25 + 9*3 = 52

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-02-2013 - 18:11
Chấm bài


#7
vuminhhoang

vuminhhoang

    Không Đối Thủ

  • Thành viên
  • 167 Bài viết
sau khi c/m được x=y thì ta thay vào pt đầu tiên rồi đặt

$x=2\sqrt{2}cos\alpha$

Điểm bài 0 điểm

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-02-2013 - 18:11
Chấm bài

Mời các mem tham gia

 

100 bài hàm số sưu tầm


#8
BlackSelena

BlackSelena

    $\mathbb{Sayonara}$

  • Hiệp sỹ
  • 1549 Bài viết
$$\left\{\begin{matrix}
x^3=6(y+1) (1)\\
y^3=6(x+1) (2)
\end{matrix}\right.$$
Bài làm của MSS01 - BlackSelena:
Trừ từng vế của $(1)$ cho $(2)$, ta có:
$(x-y)(x^2 + xy + y^2+ 6) = 0$
Lại có $x^2 + xy + y^2 + 6 = (x +\dfrac{y}{2})^2 + \dfrac{1}{4}(3y^2 + 24) > 0$
Vậy $x=y$, thay vào $(1)$ thì ta cần giải phương trình $x^2 - 6x - 6$
Ta chứng minh công thức nghiệm tổng quát cho phương trình $x^3 + ax + b = 0$
Đặt $x = u + v$, $v$ có thể là gtrị tuỳ ý; phương trình đã cho tương đương:
$(u^3+v^3+b) + (u+v)(3uv+a) = 0$
Vậy chọn $v$ sao cho $3uv + a = 0$, bài toán quy về giải hệ pt:
$\left\{\begin{matrix} u^3 + v^3 = -b\\ (uv)^3 = \dfrac{-a^3}{27} \end{matrix}\right.$
Vậy theo Viete, $u^3$ và $v^3$ là nghiệm phương trình
$t^2 + bt - \dfrac{a^3}{27} =0$
PHương trình trên có nghiệm:
$u^3 = \dfrac{-b}{2} + \sqrt{D}; v^3 = \dfrac{-b}{2} - \sqrt{D}$; với $D = (\dfrac{b}{2})^2 + (\dfrac{a}{3})^3$
Vậy công thức nghiệm của phương trình là $ x= \sqrt[3]{\dfrac{-b}{2} + \sqrt{D}} + \sqrt[3]{\dfrac{-b}{2} - \sqrt{D}}$
Thay $a=b=-6$ thì $ x= \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$.
Vậy hpt có nghiệm $(x;y) = (\sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4} ; \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4})$

Điểm bài 10
Hỏi nhỏ em, nếu D < 0 thì sao?
S = 25 + 10*3 = 55

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-02-2013 - 18:15
Chấm bài


#9
Dung Dang Do

Dung Dang Do

    Dũng Dang Dở

  • Thành viên
  • 524 Bài viết
$\left\{\begin{matrix}
x^3=6(y+6)(1) & \\
y^3=6(x+6) &
\end{matrix}\right.\Rightarrow x^3-y^3=6(y-x)\iff (x-y)(x^2+y^2+xy+6)\Leftrightarrow x=y (x^2+y^2+xy+6\ge 6)$
$\iff (x-y)(x^2+y^2-xy)=6(y-x)$
$\Rightarrow (x-y)(x^2+y^2+xy+6)\Leftrightarrow x=y (x^2+y^2+xy+6\ge 6)$
Thay vào (1) ta có $x^3-6x-6=0\iff (x-\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4})(.............)=0$
Suy ra phương trình có nghiệm duy nhất $x=y=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$

Trình bày chưa cẩn thận
Điểm: 7
S = 25 + 7*3 = 46

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-02-2013 - 18:17
Chấm bài

@@@@@@@@@@@@

#10
HungHuynh2508

HungHuynh2508

    Thượng sĩ

  • Thành viên
  • 222 Bài viết
Trừ 2 vế của 2 phương trình ta có:
$x^{3}-y^{3}=6(y+1)-6(x+1)$
$\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}+xy+y^{2})=6y+6-6x-6=-6(x-y)$
$\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}+xy+y^{2}+6)=0$
$Th1: x-y=0 \Leftrightarrow x=y$
thay vào pt ta có $x^{3}=6(x+1)$
$x_{1}=2.528917957$
$x_{2}=-0.1674491911$
$x_{3}=-2.361468766$
Th2: $x^{2}+xy+y^{2}+6=0$
$\Leftrightarrow x^{2}+xy+\frac{y^{2}}{4}+\frac{3y^{2}}{4}+6=0$
$VT=(x+\frac{y}{2})^{2}+\frac{3y^{2}}{4}+6> 0$
nên vô nghiệm

Em làm thế nào để giải ra các nghiệm vô tỉ kia, dùng MTCT CASIO fx - 570MS à. Nếu thấy $\mathbb{R}\Leftrightarrow I$ thì là vô nghiệm thực nhé.
Điểm bài: 2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-02-2013 - 18:51
Chấm bài

Hạnh phúc là cho đi đâu chỉ nhận riêng mình!

7e3c59fbf62d4c5280e6cf2ad53cdcb8.0.gif

#11
field9298

field9298

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
$\left\{\begin{matrix} x^{3}=6(y+1)(1)\\ y^{3}=6(x+1)(2) \end{matrix}\right.$
Trừ (1) cho (2) vế theo vế ta được:
$x^{3}-y^{3}=6(y-x) \Leftrightarrow (x-y)(x^{2}+xy+y^{2})+6(x-y)=0
\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}+xy+y^{2}+6)=0
\Leftrightarrow \left\{\begin{matrix} x-y=0\\ x^{2}+xy+y^{2}+6=0(vì x^{2}+xy+y^{2}> 0(bình phương thiếu của một tổng)nên VT> 0= VP nên pt vô nghiệm) \end{matrix}\right.\Leftrightarrow x=y$
Thay y=x vào phương trình (1) ta được:
$x^{3}=6(x+1)\Leftrightarrow x^{3}-(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})x^{2}+(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})x^{2}-(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16}+4)-6=0$ (SAI)
$\Leftrightarrow (x-\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4})x^{2}+(x-\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})x+(x-\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4})(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16}-2)=0
\Leftrightarrow (x-\sqrt[3]{2}-\sqrt[3]{4})\left \{ x^{2}+(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})x+(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16}-2) \right \}=0
\Leftrightarrow x=\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}(vì phương trình x^{2}+(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})x+(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{16}-2) vô nghiệm(\Delta =12-3\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{16}< 0))$
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất $(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4};\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})$

Sai lầm đáng tiếc.
Điểm bài: 5
S = 24 + 5*3 = 39

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-02-2013 - 23:41
Chấm bài


#12
field9298

field9298

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
Mở rộng: Ta có thể nâng số mũ của x và y ở VT thành n(với n$\epsilon \mathbb{N})$.Khi đó hệ phương trình viết lại thành:
$\left\{\begin{matrix} x^{n}=6(y+1(1))\\ y^{n}=6(x+1)(2) \end{matrix}\right.$
Trừ (1) cho (2) vế theo vế ta được:
$x^{n}-y^{n}=6(y-x)\Leftrightarrow (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}.y+...+xy^{n-2}+y^{n-1})+6(x-y)=0\Leftrightarrow (x-y)(x^{n-1}+x^{n-2}.y+...+xy^{n-2}+y^{n-1}+6)=0$(1)
Xét $x\neq y$.Mặt khác, không mất tính tổng quát,giả sử$x> y\Leftrightarrow x^{n}> y^{n}$ nên x^{n-1}+x^{n-2}.y+...+xy^{n-2}+y^{n-1}=$\frac{x^{n}-y^{n}}{x-y}> 0$ suy ra (1) vô nghiệm.
Suy ra x=y.Đến đây giải tương tự như phần bài làm.
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm $(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4};\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})$

Bài làm sai. Không chấm điểm mở rộng

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-02-2013 - 18:58
Chấm bài


#13
Laser Angry Bird

Laser Angry Bird

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 81 Bài viết
Trừ từng vế 2 pt ta có: $x^{3}-y^{3}=6\left ( y-x \right )\Leftrightarrow \left ( x-y \right )\left ( x^{2}+xy+y^{2}+6 \right )= 0\Leftrightarrow x=y$
Khi đó ta có: $x^{3}-6x-6=0$
Ta sử dụng phương pháp giải pt bậc 3 bằng pp tổng hợp và lượng giác:
$\Delta =b^{2}-3ac= 18$
k=$\frac{9abc-2b^{3}-27a^{2}d}{2\sqrt{\Delta ^{3}}}= \frac{3}{2\sqrt{2}}$
Vì $\Delta > 0$ và $k > 1$ nên pt chỉ có 1 nghiệm là
$x= \frac{\sqrt{\Delta }}{3a}\left ( \sqrt[3]{k+\sqrt{k^{2}-1}}+\sqrt[3]{k-\sqrt{k^{2}-1}} \right )-\frac{b}{3a}= \sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}$

Bị loại vì gian lận độ tuổi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-02-2013 - 18:59
Chấm bài


#14
field9298

field9298

    Hạ sĩ

  • Thành viên
  • 50 Bài viết
Cách khác:$\left\{\begin{matrix} x^{3}=6(y+1)(1)\\ y^{3}=6(x+1)(2) \end{matrix}\right.$
Xét $x\neq y$
Không mất tính tổng quát, giả sử $x> y$(3)
$(3)\Leftrightarrow x^{3}> y^{3}$(4)
Kết hợp với hệ phương trình ở đề bài ta được:
$(4)\Rightarrow 6(y+1)> 6(x+1)\Rightarrow y+1> x+1\Rightarrow y> x$(trái với (3))
Vậy x=y.Thay vào phương trình (1) ta được:$x^{3}=6(x+1)$
Đến đây giải tương tự cách đầu tiên.
Vậy hệ phương trình có 1 nghiệm duy nhất $(\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4};\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4})$

#15
duaconcuachua98

duaconcuachua98

    Sĩ quan

  • Thành viên
  • 461 Bài viết
Ta có hệ đã cho $\Leftrightarrow$ $\left\{\begin{matrix} x^{3}-y^{3}=6(y-x)(1) & \\ x^{3}=6(y+1) & \end{matrix}\right.$
Giải $(1)\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}+xy+y^{2}+6)=0\Leftrightarrow x=y$
(Vì $(x^{2}+xy+y^{2}+6)> 0\forall x;y$)
Với $x=y$ ta có phương trình $x^{3}-6x-6=0\Leftrightarrow x\approx 2,847$
Vậy hệ có nghiệm duy nhất $(x;y)= (2,847;2,847)$

Điểm bài làm 2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-02-2013 - 19:00
Chấm bài


#16
LNH

LNH

    Bất Thế Tà Vương

  • Hiệp sỹ
  • 581 Bài viết

Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}
x^3=6(y+1)\\
y^3=6(x+1)
\end{matrix}\right.$$
Đề của
daovuquang

Bài làm của MSS50-lenhathoang1998
Giả sử $x\le y$.
Khi đó $6(y+1)\le 6(x+1)$
$\Leftrightarrow y\le x$
Vậy $x=y$.
Thay vào hệ trên ta có $x^3=6(x+1)$
Sử dụng công thức Cardano, ta được $x=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}$
Vậy cặp nghiệm của hệ phương trình là $x=y=\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}$

Bài làm sử dụng kiến thức vượt quá cấp THCS (Công thức Cardano)
Điểm bài làm 2

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-02-2013 - 19:01
Chấm bài


#17
thanhluong

thanhluong

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 122 Bài viết

Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}
x^3=6(y+1)\\
y^3=6(x+1)
\end{matrix}\right.$$
Đề của
daovuquang

Bài làm của thanhluong:
$\left\{\begin{matrix} x^3=6(y+1) (1) \\ y^3=6(x+1) (2) \end{matrix} \right.$
Trừ $(1)$ cho $(2)$ vế theo vế, ta được:
$x^3-y^3=6(y-x) \Leftrightarrow (x-y)(x^2+xy+y^2)+6(x-y)=0$.
$\Leftrightarrow x-y=0$ (Vì $x^2+xy+y^2+6 \geq 6 \geq 0$ với mọi $x$, $y$).
$\Leftrightarrow x=y$.
Thay $x = y$ vào $(1)$, ta được:
$x^3-6x-6=0$
$\Leftrightarrow x^3-6-6(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2})-6x+6(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2})=0$.
$\Leftrightarrow x^3-(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2})^3+6(x-\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2})=0$
$\Leftrightarrow (x-\sqrt[3]{4}-\sqrt[3]{2})(x^2+x(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2})+\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+6)=0$.
$\Leftrightarrow x - \sqrt[3]{4} -\sqrt[3]{2}=0$.
$\Leftrightarrow x = \sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}$.
Vậy: Hệ phương trình đã cho có nghiệm duy nhất $(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}; \sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2})$


Điểm bài 10
S = 3 + 3*10 = 33

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-02-2013 - 19:04
Chấm bài

Đổi mới là điều tạo ra sự khác biệt giữa người lãnh đạo và kẻ phục tùng.


STEVE JOBS


#18
mathnam

mathnam

    Binh nhất

  • Thành viên
  • 24 Bài viết

Giải hệ phương trình:
$$\left\{\begin{matrix}
x^3=6(y+1)\\
y^3=6(x+1)
\end{matrix}\right.$$
Đề của
daovuquang


ta có: $x^{3}-y^{3}=-6(x-y)\Leftrightarrow (x-y)(x^{2}+xy+y^{2}+6)=0$
Th1:$x^{2}+xy+y^{2}+6=0$
ta có :$x^{2}+y^{2}+6$ luôn dương
nên xy âm
Giả sử x dương thì y âm
vì y3=6(x+1) dương nên trái với giả thuyết
TT:không xảy ra trường hợp x âm y dương
Nên TH1 không xảy ra
TH2:x=y
$\Rightarrow x^{3}-6x-6=0$
dùng phương phap cacdano
đặt x=a-b
suy ra:
b=$\sqrt[3]{-2}$
thì a=$\sqrt[3]{4}$
và khi b=$\sqrt[3]{-4}$
thì a=$\sqrt[3]{2}$
vậy x1=x2=$\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$
Kết luận: hpt có 1 nghiệm duy nhất là:(x;y)=($\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$;$\sqrt[3]{2}+\sqrt[3]{4}$)


Bài làm làm sau thời hạn nộp bài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-02-2013 - 19:11
Chấm bài

HỌC! HỌC NỮA! HỌC MÃI!$\sum$

#19
Khanh 6c Hoang Liet

Khanh 6c Hoang Liet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 188 Bài viết
Bài làm của MSS52 - Nguyen Viet Khanh 6c :
Đề bài :
Giải hệ phương trình :
$$\left\{\begin{matrix} x^{3} = 6(y + 1)\\y^{3} = 6(x + 1) \end{matrix}\right.$$
Giải :
Ta có :
$\left\{\begin{matrix} x^{3} = 6(y + 1)\\y^{3} = 6(x + 1) \end{matrix}\right.$.
Trừ hai phương trình cho nhau, ta có :
$\left [ x^{3} - 6\left ( y + 1 \right ) \right ] - \left [ y^{3} - 6\left ( x + 1 \right ) \right ]$
$= \left ( y^{3} - 6x - 6 \right ) - \left ( x^{3} - 6y - 6 \right )$
$= x^{3} - 6y - 6 - y^{3} + 6x + 6$
$= x^{3} - 6y - y^{3} + 6x$
$= x^{3} - y^{3} - 6\left ( x - y \right )$_____$(1)$
$= 0$
hay
$\left ( x - y \right )\left ( x^{2} + xy + y^{2} + 6 \right ) = 0$._____$(2)$
Vì $x^{2} + xy + y^{2} + 6 = \left ( x + \frac{y}{2} \right )^{2} + \frac{3}{4}.y^{2} + 6 > 0$ nên phương trình tương đương với $x = y$.
Thay $x = y$ vào phương trình thứ nhất(hoặc thứ hai) trong hệ phương trình mà đầu bài đã cho, ta được : $x^{3} - 6x - 6 = 0$. Nhờ phương pháp $\text{Cardano}$ cho phương trình bậc ba ta có $1$ nghiệm của phương trình trên là $a = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$.
Ta có :
$0 = x^{3} - 6x - 6 = \left ( x - a \right )\left ( x^{2} + bx + c \right )$
trong đó $b, c$ là hai số mà ta cần xác định.
Phá biểu thức cuối ra ta được :
$\left ( x - a \right )\left ( x^{2} + bx + c \right ) = x^{3} + \left ( b - a \right )x^{2} + \left ( c - ab \right )x - ac$.
Suy ra các hệ số trước số mũ tương ứng của $x$ phải bằng nhau (để $x^{3} + \left ( b - a \right )x^{2} + \left ( c - ab \right )x - a = x^{3} - 6x - 6$).
Nghĩa là $b - a = 0$ và $-ac = -6$, tức là $b = a$ và $c = \frac{6}{a}$.
Bài toán trở thành :
Tìm nghiệm của $x^{2} + bx + c = 0$.
Ta có :
$x^{2} + bx + c = 0$_____$(3)$
$\Leftrightarrow \left ( x + \frac{b}{2} \right )^{2} = \frac{b^{2}}{4} - c$._____$(4)$
Đặt $\Delta = b^{2} - 4c$. Từ $(3)$ $,$ $(4)$ ta suy ra công thức tính nghiệm $x = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2}$.
Như vậy phương trình bậc $2$ này có nghiệm thực khi và chỉ khi $\Delta \geq 0$. Nếu bài toán đòi hỏi thêm nghiệm phức thì ta có $\Delta < 0$.
Vậy, ta có kết luận :
Nếu muốn nghiệm thực thì chỉ có duy nhất nghiệm $x = y = a = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$. Còn nếu lấy nghiệm phức thì có tất cả là $3$ nghiệm : $x = y = a = \sqrt[3]{2} + \sqrt[3]{4}$ $,$ $x = y = \frac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2}$.
Mở rộng bài toán :
Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix} x^{n} = 2n(y + n - 2)\\y^{n} = 2n(x + n - 2) \end{matrix}\right.$ $(n \neq 0)$.

Bài làm làm sau thời hạn nộp bài

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 14-02-2013 - 19:10
Chấm bài

Hình đã gửi

#20
Khanh 6c Hoang Liet

Khanh 6c Hoang Liet

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 188 Bài viết
Mở rộng 2 của MSS52 - Nguyen Viet Khanh 6c :
Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix} x^{2} + xy + y^{2} = \left ( x - y \right )\left ( x^{2} + y^{2} \right )\\y^{2} + yx + x^{2} = \left ( y - x \right )\left ( y^{2} + x^{2} \right ) \end{matrix}\right.$.
Mở rộng 3 của MSS52 - Nguyen Viet Khanh 6c :
Giải hệ phương trình :
$\left\{\begin{matrix} x^{2} + y^{2} + z = 1\\x^{2} + y + z^{2} = 1 \\x + y^{2} + z^{2} = 1 \end{matrix}\right.$.
Hình đã gửi




0 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 0 khách, 0 thành viên ẩn danh