*Mở rộng: Tính $I=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{a_1sinx+a_2cosx+a_3}{a_4sinx+a_5cosx+a_6}dx$ với $\prod_{i=1}^{6}a_i\neq 0$, $a_i$ khác nhau từng đôi một và $a_4^2+a_5^2-a_6^2\geq 0$
Lời giải:
*Ta chọn $u,v,t$ sao cho $a_1sinx+a_2cosx+a_3=u(a_4sinx+a_5cosx+a_6)+v(a_4cosx-a_5sinx)+t$
Lần lượt thay $x$ bằng $0;\frac{\pi }{2};\pi$ ta được hệ phương trình:
$\left\{\begin{matrix}(a_5+a_6)u+a_4.v+t=a_3+a_2 & & & & \\ (a_4+a_6)u-a_5.v+t=a_1+a_3 & & & & \\ (a_6-a_5)u-a_4.v+t=a_3-a_2 & & & & \end{matrix}\right. \Leftrightarrow \left\{\begin{matrix}u=\frac{a_2.a_5+a_1.a_4}{a_4^2+a_5^2} & \\ v=\frac{a_2.a_4-a_1.a_5}{a_4^2+a_5^2} & \\ t=\frac{a_3.a_4^2+a_3.a_5^2-a_2.a_5.a_6-a_4.a_1.a_6}{a_4^2+a_5^2} & \end{matrix}\right.$
$I=\frac{u.\pi }{2}+ln|a_4sinx+a_5cosx+a_6||_0^\frac{\pi }{2}+J$ $=\frac{u.\pi }{2}+v(ln|a_4+a_6|-ln|a_5+a_6|)+tJ=\frac{u.\pi }{2}+v(ln|\frac{a_4+a_6}{a_5+a_6}|)+tJ$ với $J=\int_{0}^{\frac{\pi }{2}}\frac{dx}{a_4sinx+a_5cosx+a_6}$
*Tính J
Đổi biến số $u=tan\frac{x}{2}\Rightarrow du=\frac{1}{2}(1+tan^2\frac{x}{2})dx$
Đổi cận: $x=0\Rightarrow u=0;x=\frac{\pi }{2}\Rightarrow u=1$
$\Rightarrow J=2\int_{0}^{1}\frac{du}{(a_6-a_5)u^2+2a_4.u+a_5+a_6}=2\int_{0}^{1}\frac{du}{f(u)}$
*Nếu $f(u)=0$ có 2 nghiệm phân biệt thì $J=\frac{2}{(a_6-a_5)(u_1-u_2)}\int_{0}^{1}(\frac{1}{u-u_1}-\frac{1}{u-u_2})du$ với $u_{1,2}=\frac{-a_4\pm \sqrt{a_4^2-a_6^2+a_5^2}}{a_6-a_5}$
Hay $J=\frac{2(ln|1-u_1|-ln|u_1|-ln|1-u_2|+ln|u_2|)}{(a_6-a_5)(u_1-u_2)}$
$\Rightarrow I=t.\frac{2(ln|1-u_1|-ln|u_1|-ln|1-u_2|+ln|u_2|)}{(a_6-a_5)(u_1-u_2)}+\frac{u.\pi }{2}+v.ln|\frac{a_4+a_6}{a_5+a_6}$
*Nếu $f(u)=0$ có nghiệm kép thì $J=2.\int_{0}^{1}\frac{du}{(a_6-a_5)(u+\frac{a_4}{a_6-a_5})^2}=\frac{-2}{a_6-a_5}.\left [ \frac{1}{u+\frac{a_4}{a_6-a_5}} \right ]_0^1=\frac{-2}{a_6-a_5+a_4}+\frac{2}{a_4}$
$\Rightarrow I=t(\frac{-2}{a_6-a_5+a_4}+\frac{2}{a_4})+\frac{u.\pi }{2}+v.ln|\frac{a_4+a_6}{a_5+a_6}|$
Nếu f(u) = 0 vô nghiệm?Điểm mở rộng: 8
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi E. Galois: 06-02-2013 - 23:06
Chấm bài