Chứng minh rằng : $\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\geq 3$.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 19-01-2013 - 18:00
$\frac{4\prod x^{2}}{\left(\sum x^{2}\right)^2} + \sum \frac{x^{2}}{y^{2}}\ge 3$
Bắt đầu bởi tieuthumeo99, 19-01-2013 - 17:02
#1
Đã gửi 19-01-2013 - 17:02
tieuthumeo99
-
- Thành viên
-
- 150 Bài viết
Trung sĩ
Cho $x$ $,$ $y$ $\in$ $\mathbb{R^{+}}$.
Chứng minh rằng : $\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\geq 3$.
Chứng minh rằng : $\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\geq 3$.
- tramyvodoi yêu thích
Stay hungry stay foolish
#2
Đã gửi 19-01-2013 - 17:11
25 minutes
-
- Hiệp sỹ
-
- 2795 Bài viết
Thành viên nổi bật 2015
Đặt $x^2=a,y^2=b$, bđt đã cho tương đương $\frac{4ab}{(a+b)^2}-1+\frac{a}{b}+\frac{b}{a}-2\geq 0$
$\Leftrightarrow$ $\frac{-(a-b)^2}{(a+b)^2}+\frac{(a-b)^2}{ab}\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2\left [ \frac{1}{ab} -\frac{1}{(a+b)^2}\right ]\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^2\frac{a^2+ab+b^2}{ab(a+b)^2}\geq 0$
Luôn đúng do a,b dương $\Rightarrow Q.e.D$ ?
$\Leftrightarrow$ $\frac{-(a-b)^2}{(a+b)^2}+\frac{(a-b)^2}{ab}\geq 0$
$\Leftrightarrow (a-b)^2\left [ \frac{1}{ab} -\frac{1}{(a+b)^2}\right ]\geq 0\Leftrightarrow (a-b)^2\frac{a^2+ab+b^2}{ab(a+b)^2}\geq 0$
Luôn đúng do a,b dương $\Rightarrow Q.e.D$ ?
- Oral1020 và tieuthumeo99 thích
#3
Đã gửi 28-04-2021 - 17:43
KietLW9
-
- Điều hành viên THCS
-
- 1737 Bài viết
Đại úy
Cho $x$ $,$ $y$ $\in$ $\mathbb{R^{+}}$.
Chứng minh rằng : $\frac{4x^2y^2}{(x^2+y^2)^2}+\frac{x^2}{y^2}+\frac{y^2}{x^2}\geq 3$.
$VT-VP=\frac{(x+y)^2(x-y)^2(x^2+xy+y^2)(x^2-xy+y^2)}{x^2y^2(x^2+y^2)^2}\geqslant 0$
Trong cuộc sống không có gì là đẳng thức , tất cả đều là bất đẳng thức 
$\text{LOVE}(\text{KT}) S_a (b - c)^2 + S_b (c - a)^2 + S_c (a - b)^2 \geqslant 0\forall S_a,S_b,S_c\geqslant 0$
1 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh
