Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 21-01-2013 - 17:38
Chứng minh rằng : $b$ $\not{\vdots}$ $6$
Bắt đầu bởi chuyentoan, 20-01-2013 - 04:52
#1
Đã gửi 20-01-2013 - 04:52
Cho $n$ là một số nguyên dương và $b$ là số nguyên lớn nhất mà bé hơn $\left( \sqrt[3]{28} - 3 \right)^{-n}$. Chứng minh rằng $b$ không chia hết cho $6$.
- Zaraki, Tham Lang, daovuquang và 8 người khác yêu thích
The only way to learn mathematics is to do mathematics
#2
Đã gửi 22-01-2013 - 23:00
$n=1 \Rightarrow b=0$?
Luôn yêu để sống, luôn sống để học toán, luôn học toán để yêu!!!
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
$$\text{LOVE}\left( x \right)|_{x = \alpha}^\Omega = + \infty $$
I'm still there everywhere.
#3
Đã gửi 23-01-2013 - 04:52
#4
Đã gửi 25-01-2013 - 03:31
cũng có 249 lượt người xem rồi mà không thấy có ai có ý kiến gì. Mình xin đưa ra lời giải:
Xét số phức $\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ là căn bậc ba của đơn vị thoả mãn $\omega^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$, $\omega^3=1$ và $\omega^2 + \omega +1 =0$. Đặc biệt ta có $1+\omega^j + \omega^{2j} = 3$ với $j$ chia hết cho $3$ và bằng $0$ trong các trường hợp còn lại (1).
Đặt $r_k = \sqrt[3]{28}\omega^k$ với $k=0,1,2$. Theo định nghĩa của $b$ thì ta có $\left| r_0^{-n} - b \right| < 1$. Phần thực của $\omega$ và $\omega^2$ là âm nên $\left| r_1 \right| > 1$ và $\left| r_2 \right| > 1$. Do đó:
$\left| b - \left( r_0^{-n} + r_1^{-n} + r_2^{-n} \right) \right| < \left| b-r_0^{-n} \right| + \left| r_1^{-n} \right| + \left| r_2^{-n} \right| < 3$ (2)
Do $\left( \sqrt[3]{28}\omega^k \right)^3 = 28$ nên
$r_k^{-1} = \frac{1}{\sqrt[3]{28}\omega^k - 3} = \frac{\left( \sqrt[3]{28}\omega^k \right)^3 - 3^3}{\sqrt[3]{28}\omega^k - 3} = \sqrt[3]{28}^2\omega^{2k} + 3\sqrt[3]{28}\omega^k + 9$
Luỹ thừa đa thức $X^2 + 3X + 9$ với $n$ ta có các số nguyên $c_0,\dots,c_{2n}$ với
$\left( X^2 + 3X + 9 \right)^n = c_{2n}X^{2n}+\cdots + c_0$
Và ở đây $c_0 = 9^n$ là một số lẻ. Thế $X = \sqrt[3]{28}\omega^k$ ta có
$r_k^{-n} = \sum_{j=0}^{2n}{c_j\sqrt[3]{28}^j\omega^{kj}}$
Kết hợp với (1) ta có:
$r_0^{-n} + r_1^{-n} + r_2^{-n} = \sum_{j=0}^{2n}{c_j\sqrt[3]{28}^j\left( 1 + \omega^j + \omega^{2j} \right)} = 3\sum_{0\leq l\leq \frac{2n}{3}}{c_{3l}28^l}$
Tổng này rõ ràng là một bội số của $3$ và là số lẻ. Nếu như $b$ chia hết cho $6$, thì $\left| b - \left( r_0^{-n} + r_1^{-n} + r_2^{-n} \right) \right|$ có giá trị bé nhất là $3$, mâu thuẫn với (2).
Từ đó ta có điều phải chứng minh$\blacksquare$
Xét số phức $\omega=\frac{-1+\sqrt{3}i}{2}$ là căn bậc ba của đơn vị thoả mãn $\omega^2=\frac{-1-\sqrt{3}i}{2}$, $\omega^3=1$ và $\omega^2 + \omega +1 =0$. Đặc biệt ta có $1+\omega^j + \omega^{2j} = 3$ với $j$ chia hết cho $3$ và bằng $0$ trong các trường hợp còn lại (1).
Đặt $r_k = \sqrt[3]{28}\omega^k$ với $k=0,1,2$. Theo định nghĩa của $b$ thì ta có $\left| r_0^{-n} - b \right| < 1$. Phần thực của $\omega$ và $\omega^2$ là âm nên $\left| r_1 \right| > 1$ và $\left| r_2 \right| > 1$. Do đó:
$\left| b - \left( r_0^{-n} + r_1^{-n} + r_2^{-n} \right) \right| < \left| b-r_0^{-n} \right| + \left| r_1^{-n} \right| + \left| r_2^{-n} \right| < 3$ (2)
Do $\left( \sqrt[3]{28}\omega^k \right)^3 = 28$ nên
$r_k^{-1} = \frac{1}{\sqrt[3]{28}\omega^k - 3} = \frac{\left( \sqrt[3]{28}\omega^k \right)^3 - 3^3}{\sqrt[3]{28}\omega^k - 3} = \sqrt[3]{28}^2\omega^{2k} + 3\sqrt[3]{28}\omega^k + 9$
Luỹ thừa đa thức $X^2 + 3X + 9$ với $n$ ta có các số nguyên $c_0,\dots,c_{2n}$ với
$\left( X^2 + 3X + 9 \right)^n = c_{2n}X^{2n}+\cdots + c_0$
Và ở đây $c_0 = 9^n$ là một số lẻ. Thế $X = \sqrt[3]{28}\omega^k$ ta có
$r_k^{-n} = \sum_{j=0}^{2n}{c_j\sqrt[3]{28}^j\omega^{kj}}$
Kết hợp với (1) ta có:
$r_0^{-n} + r_1^{-n} + r_2^{-n} = \sum_{j=0}^{2n}{c_j\sqrt[3]{28}^j\left( 1 + \omega^j + \omega^{2j} \right)} = 3\sum_{0\leq l\leq \frac{2n}{3}}{c_{3l}28^l}$
Tổng này rõ ràng là một bội số của $3$ và là số lẻ. Nếu như $b$ chia hết cho $6$, thì $\left| b - \left( r_0^{-n} + r_1^{-n} + r_2^{-n} \right) \right|$ có giá trị bé nhất là $3$, mâu thuẫn với (2).
Từ đó ta có điều phải chứng minh$\blacksquare$
- supermember, anh qua, NguyThang khtn và 19 người khác yêu thích
The only way to learn mathematics is to do mathematics
#5
Đã gửi 01-02-2013 - 15:14
Đây là lời giải khác http://gg.gg/19jw
- chuyentoan và nhungvienkimcuong thích
God made the integers, all else is the work of man.
People should not be afraid of their goverment, goverment should be afraid of their people.
2 người đang xem chủ đề
0 thành viên, 2 khách, 0 thành viên ẩn danh