Tính
$\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\left ( 2k+1 \right )H_k^2}{\left ( k-1 \right )k\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )}$
với $H_k$ là số điều hoà thứ $k$ được xác định bởi $H_k=\sum\limits_{j=1}^{k}\frac{1}{j}$
Hôm nay nghĩ vu vơ ra bài này lúc đang học Quân sự,hên cái là có mang nháp 
**********
Ký hiệu $\Delta f(k)=f(k+1)-f(k)$.
Ta xét tổng $S=\sum_{k=2}^{n}\frac{\left ( 2k+1 \right )H_k^2}{\left ( k-1 \right )k\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )}$
Dễ thấy :
$\frac{{2k + 1}}{{\left( {k - 1} \right)k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}} = \frac{1}{{\left( {k - 1} \right)\left( {k + 1} \right)}} - \frac{1}{{k\left( {k + 2} \right)}}$
$= - \Delta \left[ {\frac{1}{{\left( {k - 1} \right)\left( {k + 1} \right)}}} \right]$
$\Delta H_k^2 = \left( {{H_{k + 1}} - {H_k}} \right)\left( {{H_{k + 1}} + {H_k}} \right)$
$= \frac{1}{{k + 1}}\left( {2{H_k} + \frac{1}{{k + 1}}} \right)$
Nên theo SPTP :
$S = \left[ { - \frac{{H_k^2}}{{\left( {k - 1} \right)\left( {k + 1} \right)}}} \right]_{k = 2}^{n + 1} + \sum\limits_{k = 2}^n {\frac{{2{H_k} + \frac{1}{{k + 1}}}}{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}} $
$= \frac{3}{4} - \frac{{H_{n + 1}^2}}{{n\left( {n + 2} \right)}} + \underbrace {\sum\limits_{k = 2}^n {\frac{1}{{k{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {k + 2} \right)}}} }_{ = {S_1}} + \underbrace {2\sum\limits_{k = 2}^n {\frac{{{H_k}}}{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}} }_{ = {S_2}}$
Xét tổng $S_1$,ta có :
${S_1} = \sum\limits_{k = 2}^n {\frac{1}{{k{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {k + 2} \right)}}} $
$= \sum\limits_{k = 2}^n {\frac{1}{{k{{\left( {k + 1} \right)}^2}}}} - \sum\limits_{k = 2}^n {\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}} $
$= - \sum\limits_{k = 2}^n {\Delta \left[ {\frac{1}{k}} \right].\frac{1}{{k + 1}}} + \frac{1}{2}\sum\limits_{k = 2}^n {\Delta \left[ {\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}}} \right]} $
$= \left[ {\frac{{ - 1}}{{k\left( {k + 1} \right)}}} \right]_{k = 2}^{n + 1} + \sum\limits_{k = 2}^n {\frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}}}}.\Delta\left[\frac{1}{k+1} \right]} + \frac{1}{2}\left[ {\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}}} \right]_{k = 2}^{n + 1}$
$= \frac{1}{{12}} - \frac{1}{{2\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} - \sum\limits_{k = 2}^n {\frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2(k+2)}}}} $
Còn lại tổng $S_2$ :
${S_2} = 2\sum\limits_{k = 2}^n {\frac{{{H_k}}}{{k\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}} $
$= - \sum\limits_{k = 2}^n {\Delta \left[ {\frac{1}{{k\left( {k + 1} \right)}}} \right]{H_k}} $
$= \left[ {\frac{{ - {H_k}}}{{k\left( {k + 1} \right)}}} \right]_{k = 2}^{n + 1} + \sum\limits_{k = 2}^n {\frac{{\Delta {H_k}}}{{\left( {k + 1} \right)\left( {k + 2} \right)}}} $
$= \frac{1}{4} - \frac{{{H_{n + 1}}}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}} + \sum\limits_{k = 2}^n {\frac{1}{{{{\left( {k + 1} \right)}^2}\left( {k + 2} \right)}}} $
Do đó khi $n \to \infty$ thì $ \frac{{{H_{n + 1}}}}{{\left( {n + 1} \right)\left( {n + 2} \right)}};\frac{{H_{n + 1}^2}}{{n\left( {n + 2} \right)}} \to 0$.
Suy ra $S \to \frac{3}{4}+\frac{1}{12}+\frac{1}{4}=\frac{13}{12}$ khi $n \to \infty$.
**********
Thật ra ta vẫn có thể tính $\sum_{k=2}^{\infty}\frac{\left ( 2k-1 \right )H_k^2}{\left ( k-1 \right )k\left ( k+1 \right )\left ( k+2 \right )}$(tổng này tính cực hơn ) và "mọc" ra thêm bài toán phụ là tính $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{H_{k}}{(k+1)^2}$.
Đã edit ngày 20/03/2013.
______________________
Bạn nào cần "tham khảo" wolframalpha thì vào đây
@hxthanh: SPTP thực sự đã được em đưa lên một tầm cao mới!
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi hxthanh: 20-03-2013 - 20:17
