Xin chia sẻ đáp án của ĐH SP Huế năm 2011.
................................
Ta có
$(A+xB)^{n}=A^{n}+xD_{1}+x^{2}D_{2}+...+x^{n-1}D_{n-1}+x^{n}B^{n}$
trong đó $D_{1},D_{2},...,D_{n-1}$ là các ma trận không phụ thuộc vào x.
Với mọi $i,j=1,2,...,n$, giả sử $a,d_{1},d_{2},...,d_{n-1},b$ là phần tử ở hàng i, cột j tương ứng của các ma trận $A^{n},D_{1},D_{2},...,D_{n-1},B^{n}$.
Xét đa thức $p(x)=a+d_{1}x+d_{2}x^{2}+...+d_{n-1}x^{n-1}+bx^{n}$
có ít nhất $n+1$ nghiệm phân biệt $x_{1},x_{2},...,x_{n+1}$.
Do đó $p(x)=0$ hay các hệ số $a=d_{1}=...=d_{n-1}=b=0$
Suy ra $A^{n}=B^{n}=O$ Tức là $A, B$ lũy linh.
Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi vo van duc: 29-01-2013 - 15:02