Chủ đề này có 4 trả lời

[shinichi2095]

Tính $\int_{0}^{1}\frac{1-t^{2}}{t^{4}+t^{2}+1}dx$

[viet 1846]

Tính $\int_{0}^{1}\frac{1-t^{2}}{t^{4}+t^{2}+1}dx$

Gợi ý:

\[\int {\frac{{1 - {x^2}}}{{{x^4} + {x^2} + 1}}dx} = \int {\frac{{\frac{1}{{{x^2}}} - 1}}{{{x^2} + \frac{1}{{{x^2}}} + 1}}} dx = \int {\frac{{d\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}}{{1 - {{\left( {x + \frac{1}{x}} \right)}^2}}}} \]

[duongtoi]

Sai rồi. Chú ý là cận dưới bằng 0 nên không thể chia cho $x$ được.
Bài này phải làm như sau
$\frac{1-t^2}{t^4+t^2+1}=\frac{1-t^2}{(t^2-t+1)(t^2+t+1)}=\frac{1}{2}\left (\frac{2t+1}{t^2+t+1}-\frac{2t-1}{t^2-t+1} \right )$
Do vậy,
$I=\int_0^1\frac{1}{2}\left ( \frac{2t+1}{t^2+t+1}-\frac{2t-1}{t^2-t+1} \right ){\rm d}t=\frac{1}{2}\left ( \ln(t^2+t+1)-\ln(t^2-t+1) \right )\Bigg|_0^1=\frac{1}{2}\ln3$

[snowwhite]

Sai rồi. Chú ý là cận dưới bằng 0 nên không thể chia cho $x$ được.
Bài này phải làm như sau
$\frac{1-t^2}{t^4+t^2+1}=\frac{1-t^2}{(t^2-t+1)(t^2+t+1)}=\frac{1}{2}\left (\frac{2t+1}{t^2+t+1}-\frac{2t-1}{t^2-t+1} \right )$
Do vậy,
$I=\int_0^1\frac{1}{2}\left ( \frac{2t+1}{t^2+t+1}-\frac{2t-1}{t^2-t+1} \right ){\rm d}t=\frac{1}{2}\left ( \ln(t^2+t+1)-\ln(t^2-t+1) \right )\Bigg|_0^1=\frac{1}{2}\ln3$

Nếu không để ý chắc cũng dễ làm theo cách của shinichi lắm, cho hỏi tí làm sao bạn nhìn ra $x^4+x^2+1=(x^2-x+1)(x^2+x+1)$ liệu có cách nào phân tích dc vậy không

[duongtoi]

Nếu không để ý chắc cũng dễ làm theo cách của shinichi lắm, cho hỏi tí làm sao bạn nhìn ra $x^4+x^2+1=(x^2-x+1)(x^2+x+1)$ liệu có cách nào phân tích dc vậy không

$x^4+x^2+1=(x^4+2x^2+1)-x^2=(x^2+1)^2-x^2=(x^2-x+1)(x^2+x+1)$
Đây là cách phân tích đa thức thành nhân tử, hay có trong các đề thi HSG lớp 8, lớp 9 đấy.. Tại lên cấp 3 mọi người toàn quen với khái niệm rằng: "Đa thức phải có nghiệm thì mới phân tích thành tích của các đa thức khác được."