Chủ đề này có 2 trả lời

[20K]

Tìm các nguyên hàm sau :
$1)$ $\int \frac{1}{\sqrt{1 + x + x^{2}}}$.
$2)$ $\int \frac{1}{\cos x + 1}$.

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 24-01-2013 - 19:20

[duongtoi]

Bài 1: Ta có $x^2+x+1=(x+\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}$.
Đặt $x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt3}{2}\tan t$. Ta có ${\rm d}x=\frac{\sqrt3}{2}\frac{1}{\cos^2t}{\rm d}t$, $1+x+x^2=\frac{3}{4}(1+\tan^2t)=\frac{3}{4}\frac{1}{\cos^2t}$.
Vậy $I=\int\frac{\frac{\sqrt3}{2}\frac{1}{\cos^2t}}{\frac{\sqrt3}{2}\frac{1}{\cos x}}{\rm d}t=\int\frac{1}{\cos t}{\rm d}t=\frac{1}{2}\ln\left | \frac{1+\sin t}{1-\sin t} \right |+C$ với $x+\frac{1}{2}=\frac{\sqrt3}{2}\tan t$.

[duongtoi]

Bài 2:
$\int\frac{1}{\cos x+1}{\rm d}x=\int\frac{1}{2\cos^2\frac{x}{2}}{\rm d}x=\int{\rm d}(\tan\frac{x}{2})=\tan\frac{x}{2}+C.$