Chủ đề này có 6 trả lời

[ngoctram95]

$\int_{0}^{1}\frac{dx}{x^{4}+x^{2}+1}$

[zipienie]

Ta phân tích $\frac{1}{x^{4}+x^{2}+1}$ như sau :
Sử dụng đẳng thức $x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$
$$\dfrac{1}{x^4+x^2+1}=\dfrac{1}{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}=\dfrac{Ax+B}{x^2+x+1}+\dfrac{Cx+D}{x^2-x+1}$$
Trong đó $A,B,C,D$ là các hằng số cần tìm. Đồng nhất hai vế của đẳng thức trên ta tìm được
$$A=B=-C=D=\dfrac{1}{2}$$
Từ đó ta tìm được nguyên hàm
$$I=\dfrac{1}{4}\ln \dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+1}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\left ( \arctan {\dfrac{2x+1}{\sqrt{3}}}+\arctan{\dfrac{2x-1}{\sqrt{3}}} \right )+C$$
Chú ý là $\arctan x$ là hàm ngược của $\tan x$ và đạo hàm của $\arctan x$ là $(\arctan x)'=\dfrac{1}{x^2+1}$, hơn nữa thì đạo hàm của hàm hợp là $(\arctan u)' =\dfrac{(u)'}{1+u^2}$
P/S: Dạng tích phân này không thi đại học đâu bạn ơi

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi zipienie: 24-01-2013 - 22:03

[ngoctram95]

Ta phân tích $\frac{1}{x^{4}+x^{2}+1}$ như sau :
Sử dụng đẳng thức $x^4+x^2+1=(x^2+1)^2-x^2=(x^2+x+1)(x^2-x+1)$
$$\dfrac{1}{x^4+x^2+1}=\dfrac{1}{(x^2+x+1)(x^2-x+1)}=\dfrac{Ax+B}{x^2+x+1}+\dfrac{Cx+D}{x^2-x+1}$$
Trong đó $A,B,C,D$ là các hằng số cần tìm. Đồng nhất hai vế của đẳng thức trên ta tìm được
$$A=B=-C=D=\dfrac{1}{2}$$
Từ đó ta tìm được nguyên hàm
$$I=\dfrac{1}{4}\ln \dfrac{x^2+x+1}{x^2-x+1}+\dfrac{1}{2\sqrt{3}}\left ( \arctan {\dfrac{2x+1}{\sqrt{3}}}+\arctan{\dfrac{2x-1}{\sqrt{3}}} \right )+C$$
Chú ý là $\arctan x$ là hàm ngược của $\tan x$ và đạo hàm của $\arctan x$ là $(\arctan x)'=\dfrac{1}{x^2+1}$, hơn nữa thì đạo hàm của hàm hợp là $(\arctan u)' =\dfrac{(u)'}{1+u^2}$
P/S: Dạng tích phân này không thi đại học đâu bạn ơi

tks ban nhiều nhen. làm đến chỗ tìm đc A B C D r bí không biết làm sao. tại ông thầy ra nên phải làm thôi.

[snowwhite]

tks ban nhiều nhen. làm đến chỗ tìm đc A B C D r bí không biết làm sao. tại ông thầy ra nên phải làm thôi.

Bài này hình như mình đăng trước rồi và cũng làm theo cách khác cách này

[ngoctram95]

Bài này hình như mình đăng trước rồi và cũng làm theo cách khác cách này

hôm bữa thầy mình cũng giải rồi. cách giải dễ hiều hơn cách trên. cho mình link bài bạn đăng đc k??

[zipienie]

Cái này phải không bạn ? http://diendantoanho...rac1-t2t4t21dx/
Tuy nhiên thì hai bài này là hoàn toàn khác nhau
Đối với đề bài của bạn thì hiện nay mình chưa thấy cách giải nào đơn giản hơn

[ngoctram95]

Cái này phải không bạn ? http://diendantoanho...rac1-t2t4t21dx/
Tuy nhiên thì hai bài này là hoàn toàn khác nhau
Đối với đề bài của bạn thì hiện nay mình chưa thấy cách giải nào đơn giản hơn

cách mình làm ra kq này nè
$I=\frac{1}{4}(\ln 3+\frac{pi\sqrt{3}}{3})$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi ngoctram95: 30-01-2013 - 10:05