Chủ đề này có 1 trả lời

[donghaidhtt]

Giải hệ pt với $x,y,z$ là các số dương:
$\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{3y}+\dfrac{1}{6z}=\dfrac{1}{\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{6}}\\ x+y^2+z^3=14 \end{matrix}\right.$

[triethuynhmath]

Giải hệ pt với $x,y,z$ là các số dương:
$\left\{\begin{matrix} \dfrac{1}{2x}+\dfrac{1}{3y}+\dfrac{1}{6z}=\dfrac{1}{\dfrac{x}{2}+\dfrac{y}{3}+\dfrac{z}{6}}\\ x+y^2+z^3=14 \end{matrix}\right.$

Xét phương trình $(1)$.
Ta chứng minh điều sau:
Nếu $\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z} = \frac{(a+b+c)^2}{x+y+z} \Rightarrow \frac{a}{x}=\frac{b}{y}=\frac{c}{z}$
Chứng minh: Từ giả thiết ta suy ra được: $(x+y+z)(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z})=(a+b+c)^2$
Mà theo $B.C.S$ thì: $(x+y+z)(\frac{a^2}{x}+\frac{b^2}{y}+\frac{c^2}{z})\geq (a+b+c)^2$ Nên dấu "=" phải xảy ra. Vậy ta có đpcm.
Áp dụng vào bài toán, từ phương trình đầu ta thấy: $\frac{\frac{1}{4}}{\frac{x}{2}}+\frac{\frac{1}{9}}{\frac{y}{3}}+\frac{\frac{1}{36}}{\frac{z}{6}}=\frac{(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6})^2}{\frac{x}{2}+\frac{y}{3}+\frac{z}{6}}$
Vậy: $\frac{1}{x}=\frac{1}{y}=\frac{1}{z}\Leftrightarrow x=y=z$
Thay vào phương trình sau giải phương trình bậc 3 thôi