Đến nội dung


Hình ảnh

Chứng minh rằng $(\tan \alpha)^{\sin \alpha}+(\cot \alpha)^{\cos \alpha}\ge 2$


  • Please log in to reply
Chủ đề này có 1 trả lời

#1 Ispectorgadget

Ispectorgadget

    Nothing

  • Quản trị
  • 2938 Bài viết
  • Giới tính:Không khai báo
  • Đến từ:Nơi tình yêu bắt đầu
  • Sở thích:Làm "ai đó" vui

Đã gửi 27-01-2013 - 21:16

Chứng minh rằng $(\tan \alpha)^{\sin \alpha}+(\cot \alpha)^{\cos \alpha}\ge 2\,\forall \alpha\in \left(0;\frac{\pi}{2} \right )$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi tramyvodoi: 27-01-2013 - 21:22

►|| The aim of life is self-development. To realize one's nature perfectly - that is what each of us is here for. ™ ♫


#2 WhjteShadow

WhjteShadow

    Thượng úy

  • Phó Quản trị
  • 1319 Bài viết
  • Giới tính:Nam

Đã gửi 27-01-2013 - 22:48

Chứng minh rằng $(\tan \alpha)^{\sin \alpha}+(\cot \alpha)^{\cos \alpha}\ge 2\,\forall \alpha\in \left(0;\frac{\pi}{2} \right )$


Cách 1:
Áp dụng BĐT Bernoulli suy rộng ta có
$$(\cot \alpha)^{\sin \alpha} \le \sin \alpha .\cot \alpha +1-\sin \alpha=\cos \alpha+1-\sin \alpha$$
$$\Rightarrow (\tan \alpha)^{\sin \alpha} \ge \frac{1}{\cos \alpha+1-\sin \alpha}$$
$$(\tan \alpha)^{\cos \alpha} \le \cos \alpha .tan \alpha +1-\cos \alpha=\sin \alpha+1-\cos \alpha$$
$$\Rightarrow (\cot \alpha)^{\cos \alpha} \ge \frac{1}{\sin \alpha+1-\cos \alpha}$$
Cộng lại ta có: $$(\tan \alpha)^{\sin \alpha}+(cot \alpha)^{\cos \alpha} \ge \frac{1}{\sin \alpha+1-\cos \alpha}+\frac{1}{\cos \alpha+1-\sin \alpha}\geq 2$$
Bất đẳng thức cuối đúng the0 AM GM dạng cộng mẫu. Vậy ta có đpcm.
Cách 2:
+ TH1: $\alpha\in \left(0; \dfrac{\pi}{4}\right ]$ suy ra $\cos \alpha\ge \sin \alpha\Rightarrow \cot \alpha\ge 1$. Khi đó
\[(\tan \alpha)^{\sin \alpha}+(\cot \alpha)^{\cos \alpha}\ge (\tan \alpha)^{\sin \alpha}+(\cot \alpha)^{\sin \alpha}\ge_{AM-GM} 2\]
+ TH2: $\alpha\in \left [ \dfrac{\pi}{4}; \dfrac{\pi}{2}\right )$ suy ra $\cos \alpha\le \sin \alpha\Rightarrow \tan \alpha\ge 1$. Khi đó
\[(\tan \alpha)^{\sin \alpha}+(\cot \alpha)^{\cos \alpha}\ge (\tan \alpha)^{\cos \alpha}+(\cot \alpha)^{\cos \alpha}\ge_{AM-GM} 2\]
Vậy \[\min \left((\tan \alpha)^{\sin \alpha}+(\cot \alpha)^{\cos \alpha}\right) =2\iff \alpha = \dfrac{\pi}{4}\]

$$n! \sim \sqrt{2\pi n} \left(\dfrac{n}{e}\right)^n$$

 

“We can only see a short distance ahead, but we can see plenty there that needs to be done.” - Alan Turing





1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh