Chủ đề này có 4 trả lời

[25 minutes]

Cho dãy xác định bởi $\left\{\begin{matrix}
u_0=x;u_1=y\\u_n=au_{n-1}+bu_{n-2}+f(n)

\end{matrix}\right.$
Tìm CTTQ của dãy biết $f(n)$ là đa thức bậc nhất, bậc hai và tổng quát hơn là bậc n ?

[snowwhite]

Cho dãy xác định bởi $\left\{\begin{matrix}
u_0=x;u_1=y\\u_n=au_{n-1}+bu_{n-2}+f(n)

\end{matrix}\right.$
Tìm CTTQ của dãy biết $f(n)$ là đa thức bậc nhất, bậc hai và tổng quát hơn là bậc n ?

Để tìm CTTQ của dãy $(u_n) :
$\left\{\begin{array}{l}u_0;u_1 \\u_n=au_{n-1}+bu_{n-2}=f(n) \end{array}\right.$
(Trong đó $f(n)$ là đa thức theo $n$ bậc $k$
và$b^2-4ac\geq 0$ ta làm như sau :
Xét $g(n) $ là một đa thức bậc $k$ : $g(n) = a_kn^k+...+a_1k+a_0$
Nếu pt $ax^2+bx+c=0 (1) $ có 2 nghiệm phân biệt thì ta phân tích
$f(n) =g(n)+ag(n-1)+bg(n-2)$ rồi đặt $v_n = u_n -g(n)$
Nếu $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm $x=1$, ta phân tích
$f(n)=ng(n) + a(n-1)g(n-1)+b(n-2)g(n-2)$ rồi đặt $v_n=u_n-ng(n)$
Nếu (1) có nghiệm kép $x=1$ ta phân tích
$f(n)= n^2g(n) + a(n-1)^2g(n-1)+b(n-2)^2g(n-2)$ rồi đặt $v_n=u_n-n^2g(n)$
Do khuya quá nên mình chỉ ghi ngắn gọn như vậy thôi

[25 minutes]

Để tìm CTTQ của dãy $(u_n) :
$\left\{\begin{array}{l}u_0;u_1 \\u_n=au_{n-1}+bu_{n-2}=f(n) \end{array}\right.$
(Trong đó $f(n)$ là đa thức theo $n$ bậc $k$
và$b^2-4ac\geq 0$ ta làm như sau :
Xét $g(n) $ là một đa thức bậc $k$ : $g(n) = a_kn^k+...+a_1k+a_0$
Nếu pt $ax^2+bx+c=0 (1) $ có 2 nghiệm phân biệt thì ta phân tích
$f(n) =g(n)+ag(n-1)+bg(n-2)$ rồi đặt $v_n = u_n -g(n)$
Nếu $(1)$ có 2 nghiệm phân biệt trong đó có một nghiệm $x=1$, ta phân tích
$f(n)=ng(n) + a(n-1)g(n-1)+b(n-2)g(n-2)$ rồi đặt $v_n=u_n-ng(n)$
Nếu (1) có nghiệm kép $x=1$ ta phân tích
$f(n)= n^2g(n) + a(n-1)^2g(n-1)+b(n-2)^2g(n-2)$ rồi đặt $v_n=u_n-n^2g(n)$
Do khuya quá nên mình chỉ ghi ngắn gọn như vậy thôi

Chỗ $u_n=au_{n-1}+bu_{n-2}$ thì mình đã rút gọn hệ số của $u_n$ cho gọn, chứ không có 3 hệ số $a,b,c$ nữa
Và nếu $\left\{\begin{matrix}
a^2-4bc=0\\a^2-4bc< 0

\end{matrix}\right.$ thì có cách giải quyết khác không ?

[Gioi han]

Cho dãy xác định bởi $\left\{\begin{matrix}
u_0=x;u_1=y\\u_n=au_{n-1}+bu_{n-2}+f(n)

\end{matrix}\right.$
Tìm CTTQ của dãy biết $f(n)$ là đa thức bậc nhất, bậc hai và tổng quát hơn là bậc n ?

Xét phương trình đặc trưng $r^2-ar-b=0(1)$
TH1: (1) có 2 nghiệm phân biệt $r_1,r_2$
CTTQ: $u_n=c_1r_1^n +c_2 r_2^n + x_{\alpha}$
$ x_{\alpha}$là nghiệm riêng
TH2: (1) có nghiệm kép $r$
CTTQ:$u_n=(c_1+nc_2)r^n +x_{\alpha}$
TH3: (1) không có nghiệm thực.
Đặt $A=\frac{a}{2},B=\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2}$
$r=\sqrt{A^2+B^2}, \varphi=\arctan \frac{B}{A}$
CTTQ:$u_n=r^n (c_1 \cos n \varphi + c_2 \sin n\varphi)+x_{\alpha}$
+)Tìm nghiệm riệng:
$+)x_{\alpha}=f(n)(b+c \neq 1 ) \\ +)x_{\alpha}=n f(n) (b+c=1,b \neq2) \\+) x_{\alpha}=n^2 f(n) (b=2,c=-1)$
($f(n)$ tìm như trên nhé)

[25 minutes]

Xét phương trình đặc trưng $r^2-ar-b=0(1)$
TH1: (1) có 2 nghiệm phân biệt $r_1,r_2$
CTTQ: $u_n=c_1r_1^n +c_2 r_2^n + x_{\alpha}$
$ x_{\alpha}$là nghiệm riêng
TH2: (1) có nghiệm kép $r$
CTTQ:$u_n=(c_1+nc_2)r^n +x_{\alpha}$
TH3: (1) không có nghiệm thực.
Đặt $A=\frac{a}{2},B=\frac{\sqrt{|\Delta|}}{2}$
$r=\sqrt{A^2+B^2}, \varphi=\arctan \frac{B}{A}$
CTTQ:$u_n=r^n (c_1 \cos n \varphi + c_2 \sin n\varphi)+x_{\alpha}$
+)Tìm nghiệm riệng:
$+)x_{\alpha}=f(n)(b+c \neq 1 ) \\ +)x_{\alpha}=n f(n) (b+c=1,b \neq2) \\+) x_{\alpha}=n^2 f(n) (b=2,c=-1)$
($f(n)$ tìm như trên nhé)

Cho mình hỏi chút $c_1,c_2$ của bạn ở đây là gì thế ?
Chỗ cuối tìm nghiệm riêng, chắc bạn nhầm $a,b$ thành $b,c$ rồi ?