Chủ đề này có 3 trả lời

[nthoangcute]

I. PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ THÍ SINH (7,0 điểm)
Câu I (2,0 điểm)
Cho hàm số $y = {x^3} - 3\left( {m + 1} \right){x^2} + 12mx + m + 4,\,\,\,\,\left( {{C_m}} \right)$
1. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $(C_m)$ khi $m=0$.
2. Gọi $A$ và $B$ lần lượt là các điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị hàm số $(C_m)$. Tìm tất cả các giá trị của $m$ để khoảng cách giữa giữa hai đường thẳng tiếp tuyến tại $A$ và $B$ của đồ thị $C_m)$ bằng $4$.
Câu II. (2,0 điểm) .
1. Giải phương trình :$\dfrac{{{{\cos }^3}x\left( {\cos x - 2\sin x} \right) - \cos 2x - {{\cos }^2}x}}{{\tan \left( {x + \frac{\pi }{4}} \right).\tan \left( {x - \frac{\pi }{4}} \right)}} = 0$.
2. Giải phương trình $\sqrt[4]{{3\left( {x + 5} \right)}} - \sqrt[4]{{x + 13}} = \sqrt[4]{{11 - x}} - \sqrt[4]{{3\left( {3 - x} \right)}}$
Câu III (1,0 điểm)
Tính tích phân $I = \int\limits_1^e {\dfrac{{x\ln x - 1}}{{x{{\left( {{e^x} + \ln x} \right)}^2}}}dx} $
Câu IV (1,0 điểm)
Cho hình chóp $S.ABCD$ có đáy $ABCD$ là hình chữ nhật cạnh $AB=a, BC=a\sqrt{2}$ . Cạnh bên $SA$ vuông góc với đáy. Gọi $M,N$ lần lượt là trung điểm của $SD$ và $AD$. Mặt phẳng $(P)$ chứa $BM$ cắt mặt phẳng $(SAC)$ theo một đường thẳng vuông góc với $BM$ . Giả sử $BN$ cắt $AC$ tại $I$, gọi $J$ là trung điểm của $IC$. Biết khoảng cách từ đỉnh $S$ đến mặt phẳng $(P)$ bằng $\dfrac{2\sqrt{2}a}{3}.$ Tính thể tích khối chóp $BMDJ$ và khoảng cách giữa hai đường thẳng $..$ và $BJ$ theo $a$. [Câu V (1,0 điểm)]
Cho các số thực dương $x,y,z$ thỏa mãn điều kiện $2\left( {9{z^2} + 16{y^2}} \right) = \left( {3z + 4y} \right)xyz$ . Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức :
$$P = \dfrac{{{x^2}}}{{\left( {{x^2} + 2} \right)}} + \dfrac{{{y^2}}}{{\left( {{y^2} + 3} \right)}} + \dfrac{{{z^2}}}{{\left( {{z^2} + 4} \right)}} + \dfrac{{5xyz}}{{\left( {x + 2} \right)\left( {y + 3} \right)\left( {z + 4} \right)}}$$
II. PHẦN RIÊNG (3,0 điểm): Thí sinh chỉ làm một trong hai phần ( phần A hoặc phần B )
A. Theo chương trình chuẩn
Câu VI.a (2,0 điểm).
1. Trong mặt phẳng với hệ trục tọa độ $Oxy$ cho tam giác $ABC$ vuông tại $A$ . Gọi $H$ là hình chiếu của $A$ trên $BC$ . Tam giác $ABH$ ngoại tiếp đường tròn $\left( C \right):{\left( {x - \dfrac{{16}}{5}} \right)^2} + {\left( {y - \dfrac{{33}}{5}} \right)^2} = \dfrac{{36}}{{25}}$ . Tâm đường tròn nội tiếp tam giác $ACH$ là $I\left( {\dfrac{{26}}{5};\dfrac{{23}}{5}} \right)$ . Tìm tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$.
2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho hai điểm $A\left( {2;2;5} \right)$ và $B\left( {1;1;7} \right)$ . Tìm tọa độ điểm $M$ thuộc đường tròn $ \left( C \right):\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{{\left( {x - 1} \right)}^2} + {{\left( {y - 1} \right)}^2} + {{\left( {z - 2} \right)}^2} = 9}\\ {x + y + z - 7 = 0\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ ,\,\,\,\,\,\,\,}
\end{array}} \right.$ để tam giác $MAB$ có diện tích nhỏ nhất.

Câu VII.a (1,0 điểm)
Giải bất phương trình : $3 + \dfrac{4}{{\sqrt {6 - {2^x}} + \sqrt {2 + {2^x}} }} \ge 2\sqrt {8 - \sqrt {\left( {6 - {2^x}} \right)\left( {{2^x} + 2} \right)} } $

B. Theo chương trình nâng cao

Câu VI.b (2,0 điểm)
1. Trong mặt phẳng với hệ tọa độ $Oxy$ cho hình chữ nhật $ABCD$ nội tiếp đường tròn $\left( C \right)$ có tâm $I(1;2)$ . Tiếp tuyến của $\left( C \right)$ tại $B, C, D$ cắt nhau tại $M, N$. Giả sử $H(1;-1)$ là trực tâm tam giác $AMN$ . Tìm tọa độ các điểm $A,B,M,N$ biết rằng chu vi tam giác $AMN$ bằng $42$.

2. Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ cho mặt cầu $\left( S \right):{\left( {x - 1} \right)^2} + {\left( {y - 2} \right)^2} + {\left( {z - 3} \right)^2} = \dfrac{14}{3}$ và đường thẳng $d:\dfrac{{x - 4}}{3} = \dfrac{{y - 4}}{2} = \dfrac{{z - 4}}{1}$ . Tìm trên đường thẳng $d$ các điểm $A$ sao cho từ $A$ có thể kẻ được $3$ tiếp tuyến đến mặt cầu $(S)$ sao cho tứ diện $ABCD$ là tứ diện đều ( trong đó $B,C,D$ là các tiếp điểm ) .

Câu VII.b (1,0 điểm)
Giải hệ phương trình : \[\left\{ {\begin{array}{*{20}{c}}
{{{\log }_2}\left( {x + \sqrt {{x^2} + 1} } \right) + {{\log }_2}\left( {y + \sqrt {{y^2} + 4} } \right) = 1\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\ ,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,}\\
{2{{\log }_2}\left( {\sqrt {2x - y + 2} + \sqrt {3y - 2x + 4} } \right) = 2{{\log }_4}\left( {5{x^2} + {y^2} + 1} \right) + 1}
\end{array}} \right.\].

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 01-02-2013 - 12:45

[nthoangcute]

Câu 1:
1. Khi $m=0$ thì $y=x^3-3x^2+4$
Ta có: $$y'=3x^2-6x=3x(x-2)\\ y''=6x-6$$
Vậy ta có bảng biến thiên:
$$\begin{array}{c|ccccccccc}
x & -\infty && 0 && 1 && 2 && +\infty\\
\hline
y'&&+&0&-&&-&0&+
\\
y''&&-&&-&0&+&&+&

\\
&&&&\\
& & & 4 \\
y & \; & \nearrow &&\searrow \\
\quad & -\infty &&&&2&&&&+\infty \\
&&&&&^{\text{(Uốn)}}&\searrow&&\nearrow\\
&&&&&&&0
\end{array}$$
Vẽ đồ thị: Như trên
2. Ta có: $$y'=3x^2-6(m+1)x+12m=3(x-2)(x-2m)$$
Suy ra hoành độ của các điểm cực trị là: $2$ và $2m$
Khi đó tiếp tuyến tại hai điểm có hoành độ là $2$ là: $y=13m$
Tiếp tuyến tại hai điểm có hoành độ là $2m$ là: $y=-4m^3+12m^2+m+4$
Vậy để hai đường thẳng này cách nhau 4 dvđd thì:
$$|-4m^3+12m^2+m+4-13m|=4$$
Giải phương trình này ta được: $m=0$ hoặc $m=2$
Vậy ta được kết quả.

[nthoangcute]

Câu 2:
1. ĐKXĐ:...
Ta có: $$\tan \left( x+\dfrac{\pi}{4} \right) \tan \left( x-\dfrac{\pi}{4} \right)=-1 \neq 0$$
Vậy $$PT \Leftrightarrow {{{\cos }^3}x\left( {\cos x - 2\sin x} \right) - \cos 2x - {{\cos }^2}x}=0\\
\Leftrightarrow \cos^4x-3\cos^2x+1-2 \cos^3x \sin x=0\\
\Leftrightarrow \cos^4x-\cos^2x-2\cos^3x\sin x-2 \cos^2x+1=0\\
\Leftrightarrow \cos^2x(\cos^2x-1)-\cos^2x \sin 2x-\cos 2x=0\\
\Leftrightarrow 4\cos^2x \sin^2x+4\cos^2x \sin 2x+4\cos 2x=0\\
\Leftrightarrow \sin^2 2x+2(\cos 2x+1) \sin 2x+4\cos 2x=0\\
\Leftrightarrow (\sin 2x+2)(\sin 2x+2 \cos 2x)=0$$
Đến đây là OK
$$x=\dfrac{k \pi-arctan 2}{2}$$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi nthoangcute: 01-02-2013 - 13:44

[nthoangcute]

Câu 2:
2. Nhận thấy $3(x+5)-(x+13)=11-x-3(3-x)=2+2x$ nên ta có :
Đặt $a,b,c,d$ lần lượt là $\sqrt[4]{3(x+5)},\sqrt[4]{x+13},\sqrt[4]{11-x},\sqrt[4]{3(3-x)}$
Ta có:
$$a-b=c-d\\a^4-b^4=c^4-d^4$$
Khi đó $$(a-b)(a+b)(a^2+b^2)=(c-d)(c+d)(c^2+d^2)\\
\Leftrightarrow (a-b)(a^3+b^3+ab^2+ba^2-c^3-d^3-cd^2-dc^2)=0
$$
Thế $a=b+c-d$ ta được:
$$a^3+b^3+ab^2+ba^2-c^3-d^3-cd^2-dc^2=2(b-d)(2b^2+3bc-bd-cd+2c^2+d^2)\\
=2(b-d)((d-\dfrac{b+c}{2})^2+\dfrac{7}{4}(b+\dfrac{5}{7}c)^2+\dfrac{6}{7}c^2)$$
Từ đó ta được $a=b$ hoặc $a=c$
Thay vào ta tìm được $x$