Chủ đề này có 10 trả lời

[snowwhite]

Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển đa thức
$P=(x^2+x-1)^5$

[dark templar]

Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển đa thức
$P=(x^2+x-1)^5$

Sử dụng khai triển trực tiếp sẽ cho ta $\left\langle {{x^3}} \right\rangle = \sum\limits_{0 \le j \le k;k + j = 3} {{5\choose k}{k\choose j}{{\left( { - 1} \right)}^{5 - k}}} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-02-2013 - 16:13

[snowwhite]

tắt quá bạn ơi

[dark templar]

tắt quá bạn ơi

Khai triển tổng đó thì bạn chỉ cần giải PT nghiệm nguyên không âm $k+j=3$ với điều kiện $j \le k$
Còn tại sao lại ra tổng đó thì bạn khai triển Nhị Thức Newton như sau :
$$(x^2+x-1)^{5}=\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}(-1)^{5-k}x^{k}(x+1)^{k}$$

[snowwhite]

Khai triển tổng đó thì bạn chỉ cần giải PT nghiệm nguyên không âm $k+j=3$ với điều kiện $j \le k$
Còn tại sao lại ra tổng đó thì bạn khai triển Nhị Thức Newton như sau :
$$(x^2+x-1)^{5}=\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}(-1)^{5-k}x^{k}(x+1)^{k}$$

Không biết có đúng không, nếu không đúng thì chỉ giúp mình
Áp dụng ctnh Nui-tơn cho $x^2$ và $x-1$ ta có
$(x^2 +x-1)^5 = \sum C_5^k(x^2)^{5-k}(x-1)^k $
Sau đó áp dụng cho $(x-1)^k$
Và ta có $(x^2 +x-1)^5 = \sum C_5^k(x^2)^{5-k}(x-1)^k = \sum C_5^k(x^2)^{5-k}\sum C_k^mx^{k-m}(-1)^m$

[dark templar]

Không biết có đúng không, nếu không đúng thì chỉ giúp mình
Áp dụng ctnh Nui-tơn cho $x^2$ và $x-1$ ta có
$(x^2 +x-1)^5 = \sum C_5^k(x^2)^{5-k}(x-1)^k $
Sau đó áp dụng cho $(x-1)^k$
Và ta có $(x^2 +x-1)^5 = \sum C_5^k(x^2)^{5-k}(x-1)^k = \sum C_5^k(x^2)^{5-k}\sum C_k^mx^{k-m}(-1)^m$

Bạn làm theo hướng này thì cũng ra thôi,nhưng sẽ hơi rối hơn 1 chút

[Nobodyv3]

Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển đa thức
$P=(x^2+x-1)^5$

Số hạng tổng quát trong khai triển của $P=(x^2+x-1)^5$ là $\frac {5!}{r!s!t!}(x^2)^r(x)^s(-1)^t=\frac {5!}{r!s!t!}1^r1^s(-1)^tx^{s+2r}$ trong đó $0\leq r,s,t\leq 5$   (1) và $r+s+t=5$  (2). Để tính hệ số của $x^3$ ta phải có $s+2r=3$, kết hợp với điều kiện (1)&(2) suy ra $t=2,\,s=3,\,r=0 $ hoặc $t=3,\,s=1,\,r=1$.
$\Rightarrow [x^3](x^2+x-1)^5=\frac {5!}{0!3!2!}\cdot 1^01^3(-1)^2+ \frac {5!}{1!1!3!}\cdot 1^11^1(-1)^3=10-20=\boldsymbol {-10}$

[supermember]

Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển đa thức
$P=(x^2+x-1)^5$

 

Bài này cách đơn giản nhất là như sau:

 

Đặt $y = f(x) =x-1$

 

Rõ ràng theo khai triển nhị thức Newton, ta có:

 

$ P(x) = (x^2 + y)^5 = \binom{5}{0}x^{10}+ \binom{5}{1}x^{8}y + \binom{5}{2}x^{6}y^2+ \binom{5}{3}x^{4}y^3+ \binom{5}{4}x^{2}y^4+ \binom{5}{5}y^5  = G(x) + \binom{5}{4}x^{2}y^4+ \binom{5}{5}y^5 $

 

Rõ ràng trong khai triển của đa thức $G(x)$ thì hệ số của $x^0 ; x^1 ; x^2 ; x^3$ đều bằng $0$, nên hệ số của $x^3$ trong khai triển $P(x)$ cũng chính là hệ số $x^3$ trong khai triển $ \binom{5}{4}x^{2}y^4+ \binom{5}{5}y^5 $

 

$ = \binom{5}{4}x^{2} (x-1)^4+ \binom{5}{5} (x-1)^5 $

 

Bằng $ \binom{5}{4} \binom{4}{3} (-1)^3 + \binom{5}{2} (-1)^2  = 5 \cdot 4 \cdot (-1) + \frac{4 \cdot 5}{2} = -20+10 = -10$

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 19-01-2023 - 23:30

[HaiDangPham]

Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển đa thức
$P=(x^2+x-1)^5$

 

Cách 1: Áp dụng hai công thức $(a+b+c)^3=a^3+b^3+c^3+3(a+b)(b+c)(c+a)$ và $(a+b+c)^2=a^2+b^2+c^2+2(ab+bc+ca)$ ta có 

\[\begin{align*} P(x)&=\left(x^2+x-1\right)^3.\left(x^2+x-1\right)^2 \hfill \\ &=\left[x^6+x^3-1+3x(x^2-1)^2 \right](x^4+x^2+1+2x^3-2x^2-2x)  \hfill \\ &=(x^6+3x^5-5x^3+3x-1)(x^4+2x^3-x^2-2x+1) \end{align*} \]

Từ đây dễ thấy hạng tử bậc $3$ trong khai triển của $P(x)$ là $-5x^3+3x.(-x^2)-1.2x^3=-10x^3$. 

Vậy hệ số cần tìm là $-10$. 

 

Cách 2: Ta có \[\begin{align*} P(x)&=\left[(x^2+x-1)^2\right]^2(x^2+x-1) \hfill \\ &=(x^4+2x^3-x^2-2x+1)^2(x^2+x-1) \hfill \\   &=\left[(x^4+2x^3)^2-2(x^4+2x^3)(x^2+2x-1)+(x^2+2x-1)^2\right] (x^2+x-1) \hfill \\ &=\left[x^6(x+2)^2+2x^4(x+2)^2+2(x^4+2x^3)+(x^4+4x^3+2x^2-4x+1)\right] (x^2+x-1)  \hfill \\ &=\left[x^6(x+2)^2+2x^4(x+2)^2+3x^4+8x^3+2x^2-4x+1\right](x^2+x-1) \end{align*} \]

Suy ra hệ số của $x^3$ trong khai triển của $P(x)$ là hệ số của $x^3$ trong khai triển của $Q(x)=(8x^3+2x^2-4x)(x^2+x-1)$. 

Dễ thấy $Q(x)$ trong dạng khai triển có hạng tử bậc $3$ là $-8x^3+2x^3-4x^3=-10x^3$. 

Vậy hệ số cần tìm là $-10$. 

 

 

Cách 3: Dùng khai triển Nhị thức Newton 

$(X-1)^5=X^5-5X^4+10X^3-10X^2+5X-1$ với $X=x^2+x$. 

Ta có $X^m=x^m(x+1)^m$ suy ra với $m>3$ thì mọi luỹ thừa của $x$ trong khai triển của $X^m$ đều lớn hơn $3$.

Vì vậy hệ số của $x^3$ trong khai triển của $P(x)$ là hệ số của $x^3$ trong khai triển của $Q(x)=10X^3-10X^2$.

Viết lại $Q(x)=10x^2[x(x+1)^3-(x+1)^2] $ và dễ thấy hạng tử bậc $3$ trong khai triển của $Q(x)$ là $10x^2(x-2x)=-10x^3$. 

Vậy hệ số cần tìm là $-10$. 

 

Cách 4: Xét dạng khai triển theo nhị thức Newton

$P(x)=[(x^2-1)+x]^5=(x^2-1)^5+5(x^2-1)^4x+10(x^2-1)^3x^2+10(x^2-1)^2x^3+5(x^2-1)x^4+x^5$.

Ta thấy các hạng tử $(x^2-1)^5, 10(x^2-1)^3x^2$ và $ 5(x^2-1)x^4$ khi khai triển sẽ chỉ chứa các luỹ thừa chẵn của $x$. Vì vậy hạng tử bậc $3$ trong khai triển của $P(x)$ sẽ là hạng tử bậc $3$ trong dạng khai triển của $5(x^2-1)^4x+10(x^2-1)^2x^3$, và dễ thấy hạng tử này là $5(-4x^3)+10x^3=-10x^3$. 

Vậy hệ số cần tìm là $-10$. 

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi HaiDangPham: 30-06-2023 - 15:04

[Nobodyv3]

Cách 0:
\begin {align*}
[x^3]&\left(x^2+x-1\right)^5\\
&=[x^3]\sum_{k=0}^{5}(-1)^{5-k}\binom {5}{k}\left(x+x^2\right )^k\\
&=[x^3]\sum_{k=0}^{5}(-1)^{5-k}  \binom {5}{k}x^k\left(1+x\right )^k\\
&=\binom {5}{3}(-1)^{5-3} [x^0]\left(1+ x\right )^3\\
&\qquad +\binom {5}{2}(-1)^{5-2} [x^1]\left(1+x\right )^2\\
&=\binom {5}{3}-\binom {5}{2}\binom {2}{1}\\
&=10-10\cdot 2=\boldsymbol {-10}
\end{align*}

[nhancccp]

Ta có $$\begin{align*}[x^0]g &=  g(0)=-1 \\ [x^1]g &= \lim\limits_{x \to 0}\frac{g(x) - [x^0]g\times x^0}{x}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{(x^2+x-1)^5+1}{x}=5 \\ [x^2]g &= \lim\limits_{x \to 0}\frac{g(x) - [x^0]g\times x^0 - [x^1]g\times x^1} {x^2}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{(x^2+x-1)^5-5x+1}{x^2}=-5 \\ [x^3]g &=\lim\limits_{x \to 0}\frac{g(x) - [x^0]g\times x^0 - [x^1]g\times x^1-[x^2]g\times x^2} {x^3}=\lim\limits_{x \to 0} \frac{(x^2+x-1)^5+5x^2-5x+1}{x^3}=-10 \end{align*}$$

Vậy hệ số của $x^3$ trong khai triển là $-10$