Đến nội dung

Hình ảnh

Tìm hệ số $x^3$ trong khai triển đa thức

- - - - -

  • Please log in to reply
Chủ đề này có 7 trả lời

#1
snowwhite

snowwhite

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 186 Bài viết
Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển đa thức
$P=(x^2+x-1)^5$

#2
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển đa thức
$P=(x^2+x-1)^5$

Sử dụng khai triển trực tiếp sẽ cho ta $\left\langle {{x^3}} \right\rangle = \sum\limits_{0 \le j \le k;k + j = 3} {{5\choose k}{k\choose j}{{\left( { - 1} \right)}^{5 - k}}} $

Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi dark templar: 02-02-2013 - 16:13

"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#3
snowwhite

snowwhite

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 186 Bài viết
tắt quá bạn ơi

#4
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

tắt quá bạn ơi

Khai triển tổng đó thì bạn chỉ cần giải PT nghiệm nguyên không âm $k+j=3$ với điều kiện $j \le k$ :)
Còn tại sao lại ra tổng đó thì bạn khai triển Nhị Thức Newton như sau :
$$(x^2+x-1)^{5}=\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}(-1)^{5-k}x^{k}(x+1)^{k}$$
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#5
snowwhite

snowwhite

    Trung sĩ

  • Thành viên
  • 186 Bài viết

Khai triển tổng đó thì bạn chỉ cần giải PT nghiệm nguyên không âm $k+j=3$ với điều kiện $j \le k$ :)
Còn tại sao lại ra tổng đó thì bạn khai triển Nhị Thức Newton như sau :
$$(x^2+x-1)^{5}=\sum_{k=0}^{5}\binom{5}{k}(-1)^{5-k}x^{k}(x+1)^{k}$$

Không biết có đúng không, nếu không đúng thì chỉ giúp mình
Áp dụng ctnh Nui-tơn cho $x^2$ và $x-1$ ta có
$(x^2 +x-1)^5 = \sum C_5^k(x^2)^{5-k}(x-1)^k $
Sau đó áp dụng cho $(x-1)^k$
Và ta có $(x^2 +x-1)^5 = \sum C_5^k(x^2)^{5-k}(x-1)^k = \sum C_5^k(x^2)^{5-k}\sum C_k^mx^{k-m}(-1)^m$

#6
dark templar

dark templar

    Kael-Invoker

  • Hiệp sỹ
  • 3788 Bài viết

Không biết có đúng không, nếu không đúng thì chỉ giúp mình
Áp dụng ctnh Nui-tơn cho $x^2$ và $x-1$ ta có
$(x^2 +x-1)^5 = \sum C_5^k(x^2)^{5-k}(x-1)^k $
Sau đó áp dụng cho $(x-1)^k$
Và ta có $(x^2 +x-1)^5 = \sum C_5^k(x^2)^{5-k}(x-1)^k = \sum C_5^k(x^2)^{5-k}\sum C_k^mx^{k-m}(-1)^m$

Bạn làm theo hướng này thì cũng ra thôi,nhưng sẽ hơi rối hơn 1 chút :P
"Do you still... believe in me ?" Sarah Kerrigan asked Jim Raynor - Starcraft II:Heart Of The Swarm.

#7
Nobodyv3

Nobodyv3

    Thiếu úy

  • Thành viên
  • 527 Bài viết

Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển đa thức
$P=(x^2+x-1)^5$

Số hạng tổng quát trong khai triển của $P=(x^2+x-1)^5$ là $\frac {5!}{r!s!t!}(x^2)^r(x)^s(-1)^t=\frac {5!}{r!s!t!}1^r1^s(-1)^tx^{s+2r}$ trong đó $0\leq r,s,t\leq 5$   (1) và $r+s+t=5$  (2). Để tính hệ số của $x^3$ ta phải có $s+2r=3$, kết hợp với điều kiện (1)&(2) suy ra $t=2,\,s=3,\,r=0 $ hoặc $t=3,\,s=1,\,r=1$.
$\Rightarrow [x^3](x^2+x-1)^5=\frac {5!}{0!3!2!}\cdot 1^01^3(-1)^2+ \frac {5!}{1!1!3!}\cdot 1^11^1(-1)^3=10-20=\boldsymbol {-10}$
HOPE

A Canton on n'est pas content.

#8
supermember

supermember

    Đại úy

  • Hiệp sỹ
  • 1627 Bài viết

Tìm hệ số của $x^3$ trong khai triển đa thức
$P=(x^2+x-1)^5$

 

Bài này cách đơn giản nhất là như sau:

 

Đặt $y = f(x) =x-1$

 

Rõ ràng theo khai triển nhị thức Newton, ta có:

 

$ P(x) = (x^2 + y)^5 = \binom{5}{0}x^{10}+ \binom{5}{1}x^{8}y + \binom{5}{2}x^{6}y^2+ \binom{5}{3}x^{4}y^3+ \binom{5}{4}x^{2}y^4+ \binom{5}{5}y^5  = G(x) + \binom{5}{4}x^{2}y^4+ \binom{5}{5}y^5 $

 

Rõ ràng trong khai triển của đa thức $G(x)$ thì hệ số của $x^0 ; x^1 ; x^2 ; x^3$ đều bằng $0$, nên hệ số của $x^3$ trong khai triển $P(x)$ cũng chính là hệ số $x^3$ trong khai triển $ \binom{5}{4}x^{2}y^4+ \binom{5}{5}y^5 $

 

$ = \binom{5}{4}x^{2} (x-1)^4+ \binom{5}{5} (x-1)^5 $

 

Bằng $ \binom{5}{4} \binom{4}{3} (-1)^3 + \binom{5}{2} (-1)^2  = 5 \cdot 4 \cdot (-1) + \frac{4 \cdot 5}{2} = -20+10 = -10$


Bài viết đã được chỉnh sửa nội dung bởi supermember: 19-01-2023 - 23:30

Khi bạn là người yêu Toán, hãy chấp nhận rằng bạn sẽ buồn nhiều hơn vui :)




1 người đang xem chủ đề

0 thành viên, 1 khách, 0 thành viên ẩn danh